Документ: 5561, страницы 26-30 | База учебных материалов

общее решение приведённого однородного дифференциального уравнения

будет:

y

C e 0,5x

C

2

e0,5x , где C

и C

2

– произвольные постоянные.

1

Контрольное

число

0

не

является

корнем

характеристического

многочлена, поэтому частное решение

~

неоднородного уравнения

находим в

y

виде

(8.5):

y

b0

b1x . После

подстановки

y 0

и

y

b0 b1x в

неоднородное уравнение получаем:

b1x b0

x

3. Сравнивая многочлены,

получим систему для отыскания коэффициентов b0 ,

b1 :

b1

1,

b0

3.

Тогда b0

3 , b1

1. Частным решением неоднородного уравнения является

~

x

3, а общее решение неоднородного уравнения таково:

функция y

y

C e 0,5x

C

2

e0,5x

x

3 .

1

Пример 2. Найти общее решение линейного неоднородного

дифференциального

уравнения

второго

порядка

с

постоянными

коэффициентами

y 25y

x2

3x 2 .

Решение.

Правая часть этого

уравнения

представляет собой вид (8.4),

причём многочлен является многочленом второй степени. Корни

характеристического уравнения

k 2

25

0

соответствующего

приведённого

однородного

дифференциального

уравнения

y

25y

0 таковы:

k1

5 и

k2

5 .

Тогда

общее

решение

однородного

уравнения

имеет

вид

5x C

e5x

y

C e

2

, где C

и C

2

– произвольные постоянные.

1

Контрольное

число

0

не

является

корнем

характеристического

многочлена, поэтому частное решение

~

неоднородного уравнения

находим в

y

виде

(8.5):

y

b b x

b x2 .

После

подстановки

y

2b

и

0

1

2

y

b

b x

b x2

в неоднородное уравнение получаем равенство:

0

1

2

25b x2

25b x 2b 25b

x2

3x 2 .

2

1

2

0

Система для отыскания коэффициентов b0 , b1 и b2 будет иметь вид

26

25b2

1,

25b1

3,

2b2

25b0 2.

Из системы находим b2

1 25,

b1

3 25,

b0

52 625.

Тогда

частное

~

52

3

1

2

решение неоднородного

уравнения

таково:

y

x

. В

625

25

результате получаем общее решение неоднородного дифференциального

уравнения y

C e 5 x

C

e5 x

52

3

x

1

x2 .

1

2

625

25

Пример

3.

Найти общее решение линейного неоднородного

дифференциального

уравнения

второго

порядка

с

постоянными

коэффициентами

9 y

y 5x3

7x2

9x 8

при начальных условиях y 0

2 ,

y 0

1.

Решение. Правая часть уравнения представляет собой вид (8.4) с

многочленом

третьей

степени.

Корнями

характеристического

уравнения

9k 2

1 0 соответствующего приведённого однородного дифференциального

уравнения 9y

y

0 являются числа k1

1 3 и k2

1 3. Общим решением

C e x / 3

ex / 3 ,

однородного

уравнения

будет

функция

y

C

2

где

C

и C

2

–

1

произвольные постоянные.

Контрольное

число

0

не

является корнем характеристического

многочлена,

~

находим в

поэтому частное решение неоднородного уравнения y

виде

(8.5):

y

b

b x

b x2

b x3 .

После

подстановки

y

2b

6b x

и

0

1

2

3

2

3

y b

b x

b x2

b x

3

в неоднородное уравнение получаем следующее:

0

1

2

3

9 2b 6b x

b b x b x

2

b x3

5x3

7x2

9x 8 .

2

3

0

1

2

3

Система для отыскания коэффициентов b0 , b1 , b2 и b3 будет иметь вид

b3 5, b2 7,

54b3 b1 9,

18b2 b0 8,

27

откуда b3	5 , b2	7 , b1 261, b0 118. Тогда	частным			решением
		~	7x	2	5x	3	.
неоднородного уравнения является функция y 118 261x

Врезультате получаем общее решение неоднородного

дифференциального уравнения	y C e x / 3	C	ex / 3	118 261x 7x2	5x3 .
	1	2

Вычислим y 0и y0 :

y 0 C e0

C

2

e0

C C

2

,

1

y 0

1

C e0

1

C

e0

261

1

C

1

C

261.

3

1

3

2

3

1

3

2

Сравнивая эти значения с данными начальными условиями примера,

получим систему для отыскания постоянных C1

и C2 :

C1

C2

2,

1

C

1

C

261

1.

3

1

3

2

В результате решения системы получаем C1

341,

C2

339.

Решение

дифференциального

уравнения

с

начальными

условиями

будет

таково:

y

341e x / 3

339ex / 3

118

261x

7x2

5x3 .

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

2y

y

ex

2x

1 .

Решение. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой вид

(8.3). Контрольное число правой части

1.

Найдём общее решение соответствующего приведённого однородного

дифференциального

уравнения

2y

y

0.

Корнями

его

характеристического

уравнения

2k

2

k

1

0

являются

числа

k

1 и

1

k2

0,5.

Тогда общее решение

однородного

уравнения имеет

вид

C e x

e0,5x .

y

C

2

1

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет

вид

f (x) ex

2x

1 .

Контрольное

число

1

не

является

корнем

характеристического многочлена, поэтому частное решение

~

неоднородного

y

уравнения находим в виде (8.5) с многочленом первой степени:

y

ex b

b x .

0

1

28

Подставляя

эту

функцию,

её

производные

y

ex b

b x

b

и

0

1

y

ex

b

b x

2b

в

неоднородное

уравнение,

после

преобразований

0

1

получим:

2b1x 5b1

2b0

2x 1.

Система для отыскания коэффициентов b0

и b1

примет следующий вид:

2b1

2,

5b1

2b0

1.

Тогда

b1 =1

и

b0

3 . Частное решение

неоднородного

уравнения есть

~

e

x

3 .

Общее

решение

представляет

собой

функцию

y

C e x

C

2

e0,5x

ex

x

3 .

1

Пример 5. Указать вид, в котором находится частное решение

дифференциального уравнения

2y

y y e x x2

3x 2 .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой вид (8.3), при этом

контрольное

число

правой

части

1

является

однократным

корнем

характеристического многочлена. Поэтому частное решение

~

y неоднородного

уравнения находим в виде (8.6):

y

xe x b

b x

b x2 .

0

1

2

Пример 6. Указать вид, в котором находится частное решение

дифференциального уравнения

y 6 y 9 y e3x x3

x2

x 1 .

Решение. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой вид

(8.3), причём контрольное число правой части

3.

Характеристическое

уравнение

k 2

6k

9

0 соответствующего

приведённого

однородного

дифференциального

уравнения

y

6y

9y

0

имеет единственный двукратный корень k

3.

Поскольку

контрольное число

3

является

двукратным

корнем

характеристического многочлена, то частное решение

~

исходного

y

неоднородного уравнения находим в виде (8.7):

y x

2e3x b b x b x2

b x3 .

0

1

2

3

29

Пусть теперь правая часть уравнения (8.1) имеет специальный следующий

вид:
f(x) = eαx [P (x) cos βx + R	(x) sin βx],	(8.9)
n	m

где α, β – действительные числа, причём β ≠ 0, а Pn(x), Rm(x) – многочлены соответственно степени n ≥ 0 и m ≥ 0 с действительными коэффициентами. При этом не исключается, что в (8.9) могут присутствовать члены только с косинусами или только с синусами; это означает, что один из многочленов может быть нулевым (либо Pn(x) ≡ 0, либо Rm(x) ≡ 0).

Случай β = 0 приводит к изученной ситуации (8.3).

Число σ = α ± βi назовём контрольным числом правой части уравнения

(8.1).

Наибольшую из степеней многочленов, присутствующих в (8.9), обозначим через S:

S = max {n, m}.

Пусть правая часть неоднородного уравнения (8.1) имеет вид (8.9). Тогда а) если контрольное число σ не является корнем характеристического уравнения (7.2) соответствующего приведённого однородного уравнения, то частное

решение находят в виде
y = eαx [Q (x) cos βx + L (x) sin βx],		(8.10)
S	S

б) если контрольное число σ является корнем характеристического уравнения (7.2) (резонансный случай), то частное решение находят в виде

y = x eαx [Q (x) cos βx + L (x) sin βx].		(8.11)
S	S
В выражениях (8.10) и (8.11)	многочлены QS(x), LS(x)	есть многочлены

высшей степени S каждый со своими коэффициентами br, Cr, подлежащими нахождению методом неопределённых коэффициентов.

К выводу б) сделаем следующее замечание. Комплексные корни алгебраического уравнения (7.2) второй степени с действительными коэффициентами p, q могут являться только сопряжёнными парами α + βi и α – βi, т.е. они у этого уравнения однократны. Поэтому в (8.11) множитель x имеет первую степень (сравните с ситуациями б) и в) предыдущего вывода).

Поясним выводы а) и б) ситуации (8.9) примерами.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y	6 y	9 y ex x	1 cos 2x	sin 2x .
Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид
(8.9). Контрольное	число	правой	части	1 не является корнем

30

Материал: 5561

Смотрите также: