Материал: 5561

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Из графика видно, что с увеличением времени t	интенсивность выпуска
y t снижается. Можно определить значение функции	y y t для различных

значений промежутков времени t ; например, y 0,02 12,99 или y 0,08 3,48.

		Определим, с какого времени выпуск продукции становится меньше
единицы, то есть y t					1. Для этого необходимо решить неравенство
													11	t								11	t
														t									t
					11							100e 10			301		300e 10
				100e		10	t
												1 или												0 .
									11		t	1 или						11		t				0 .
									11									11

			301		300e 10							301			300e 10
								11		t
										t
Введём обозначение k e 10 , k												0. В результате замены получаем неравенство
	400k	301	0 . Отметим нули неравенства k												301	и		k			301			на числовой
			0 . Отметим нули неравенства k													и		k	2					на числовой
	300k	301										1			400				2		300
	300k	301													400						300

оси и исследуем знак неравенства при переходе через эти точки.

Решением рационального неравенства будет являться объединение промежутков:

															k								0,			301							301			,	.
															k								0,													,	.
																										400							300
																		11				t
																						t
Возвращаясь к замене k															e 10								, найдём искомые промежутки времени t .
						11				301													11								301												11			301
								t												e						t			eln															t
1)			e				10	t				или													10	t					400 .				Откуда										ln			или

									400																																	10				400
									400																																	10				400
t			10		ln			301			0,258.
t					ln						0,258.
	11					400
	11							301				11			301
				t							или e			t	eln									. Решая показательное неравенство,
2) e		10		t									10						300																											приходим к

								300
								300
																11										301												10			301
																										eln													ln
линейному неравенству																					t							300			или t											0,003				.	Получили
линейному неравенству																					t							300			или t											0,003				.	Получили
															10																						11			300
посторонний промежуток, поскольку t																															0.
			Таким								образом, начиная																с			момента							t 0,258						выпуск			продукции
становится меньше единицы.
			Задача 2. Найти динамику цены																														p на товар, если прогноз														спроса и
предложения описываются соотношениями:
																d p											p				3p			3p			9 ,
																s p											3p					p		4 p			4 .

Известно, что p 0												4e 1					5			,			p			0					2			5	.
Известно, что p 0												4e 1								,			p			0					е		7		.
															7																е		7
			Решение
1.			Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: время t , цена
			на товар p									p t , спрос d															p , предложение s p .
2. Выявим законы, связывающие обозначенные величины:
									спрос определяется из соотношения d p																																p		3p		3p		9 ;
									предложение задаётся равенством s p																															3p			p		4 p		4 ;
									равновесную цену находят, приравнивая функции спроса и
									предложения: d p																		s p .

3. Выбираем

независимую переменную t;

функцию переменной t, которую необходимо найти: p p t .

4. Выражаем все величины из условия задачи через независимую переменную t, искомую функцию p p tи её производную:

спрос d p p 3p 3p 9 ;

предложение s p 3p p 4 p 4 .

5.Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи:

Динамика цены p p tна товар определяется из равенства;

			d p		s p .
Тогда p	3p 3p	9	3p p		4 p 4		или 2 p	4 p 7 p 5 0 ,
		2	d 2 p	4	dp	7 p	5 .
			dt 2		dt

6. Найдём	общее	решение			составленного			дифференциального

уравнения.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго

порядка. Решение находят в виде p							p	~
порядка. Решение находят в виде p							p	p .
Найдём	p .	Характеристическое								уравнение				соответствующего
однородного дифференциального уравнения таково:															2k 2		4k 7 0.
Корнями характеристического уравнения являются числа

k	4	16	4	2	7	4		72	4		6	2	2		3	2	.
k																	.
1,2			4					4			4				2
			4					4			4				2

Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения


является функция p C e 1 1,5t 2	C	2	e 1 1,5t 2 .
1		2

Найдём

частное решение

неоднородного

дифференциального

уравнения. Правая часть уравнения имеет вид

t e t

5e0 t . Контрольное

число

0 не

является корнем

характеристического

уравнения,

поэтому

Q0 t e

0 t

. Найдем b0

частное решение

p будет вида p

с помощью

метода неопределённых коэффициентов. Подставляя

0 в

первоначальное

уравнение, получаем

уравнение:

откуда

Таким образом,

Общее решение неоднородного уравнения таково:

				5 .
p C e 1 1,5t 2	C		e 1 1,5t 2	5 .
1		2		7
				7
7. Определяем начальные условия: p 0 4e 1				5			e 1	5	.
				5	, p 0	2		5
					, p 0	2
				7		7

8. Определим частное решение дифференциального уравнения по

																		5																5		.
начальным условиям p 0														4e 1				5		,		p		0				2e 1						5
начальным условиям p 0														4e 1			7			,		p		0				2e 1						7
																	7																	7
																																	e 1 1,5t						5	, получаем
Учитывая,			что p														1 1,5t					2																2
												1,5			2C e		1 1,5t					2		1,5			2C											2
												1,5			2C e									1,5			2C					2
																1																2		7
																																		7
систему для отыскания постоянных C1																	и C2 :
				C e 1					C			e 1		5			4e 1						5		,
				C e 1					C	2		e 1					4e 1								,
				1						2				7								7
														7								7
																								5											5		.
				1,5				2C e 1						1,5 2C					2		e 1			5					2e 1						5
				1,5				2C e 1						1,5 2C							e 1								2e 1
							1																	7										7
																								7										7
Система после преобразования принимает вид
													C1			C2			4,
														1,5C1				1,5C2						1,
откуда C	5	и C			7	.
откуда C		и C	2			.
1	3		2	3
	3			3
Частное решение дифференциального уравнения таково:
											5								7		e 1 1,5t									5	.
							p				5		e 1 1,5t			2			7							2				5
							p			3			e 1 1,5t						3							2	7
										3									3								7

9. Исследуем полученное решение

Построим график частного решения (рисунок 1). Из графика видно, что с увеличением времени t динамика цены на товар снижается. Определим, с какого времени цена на товар становится равной нулю, то есть p t 0 .

Рисунок 1 – График зависимости цены от времени

	5			7	e 1 1,5t
Найдём решение уравнения		e 1 1,5t 2				2
	3		3

5	0	. На рисунке 2

7
7

показано решение данного уравнения с помощью пакета Maple.

Рисунок 2 – Решение уравнения с помощью пакета Maple

Таким образом, при t 0,34 цена на товар становится равной нулю. При t 0,34 цена становится отрицательной.

Задача 3. Скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени. Предполагается, что скорость изменения количества населения прямо пропорциональна наличному его количеству с коэффициентом пропорциональности k . Найти зависимость между количеством населения y и временем t , если известно, что в некоторый момент,

принимаемый за начальный, количество населения составляло y0 , а через год население увеличилось на b %. В рамках данного допущения найти

Источник: https://studfile.net/preview/16711221/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей