Материал: 5596

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример 4. Найдём

2 e 3x dx .

Выбираем

U x2

e 3x dx ,

тогда

e 3x

dU 2xdx и V

, поэтому

2 e 3x dx

e 3x

2xdx

2 e 3x

xe 3x dx .

Новый интеграл также находится по частям. Теперь U

e 3x dx , соот-

e 3x

ветственно dU

dx, V

, и тогда (подразумевая

C в будущем ответе)

xe 3x dx x

e 3x

e 3x dx

e 3x

1 e 3x

x 1

e 3x .

Подставим этот результат вместо

xe 3x dx в равенство, полученное на 1-м шаге:

2 e 3x dx

2 e

e 3x

2 e 3x

e 3x

e 3x .

Если вынести за скобку e 3x

и упростить, получим

Ответ:

e 3x 9x2

C .

Пример 5. Чтобы по частям найти

4x2 2x cos

dx , выбираем U

4x2

и dV

cos

dx , тогда dU

2 dx, V

2 sin

. Значит,

4x2

2x cos

2 4x2

2x sin

2 sin

2 dx ,

что равносильно

8x2

4x sin

2 8x

2 sin

dx .

Теперь берём U

sin

dx , тогда dU

8dx, V

2 cos

. Отдельно

находим новый интеграл

2 sin

2 cos

8dx

16x

4 cos

cos

dx .

Но

cos

2 sin

C , и поэтому

8x 2 sin

16x

4 cos

32sin

16C

где 32 162 . Возвращаясь к предыдущему шагу, получаем, что

4x2

2x cos

8x2

4x sin

16x

4 cos

32sin

C ,

или, после необязательных упрощений, окончательный

Ответ: 8x2

64 sin

32x

8 cos

C .

ИЧ3. Найдите интегралы по частям, выбрав подходящие U и dV :

x2 ln 2xdx;

x4 lg10xdx;

log2 3x

dx;

log2 x

dx ;

arctg 2xdx;

x arctg 2xdx;

x2 arctg 4xdx;

3 arctg 2xdx ;

arc sin 2xdx;

arc sin

dx;

arc cos4xdx;

arc cos

dx .

Пример 6. Найдём

ln 4x

dx , для чего запишем его как

x 9 ln 4xdx . Под зна-

ком интеграла есть логарифм,

именно его следует взять в качестве U: U ln 4x .

Тогда dV

x 9dx .

Находим dU

d ln 4x

ln 4x

, также V

x 9dx

x 8

, тогда

x 9 ln 4xdx

x 8

ln 4xdx

x 8

ln 4x 1

x 9dx

ln 4x

1 x 8

ln 4x

C .

8x8

8 8

8x8

64x8

Ответ:

ln 4x

C .

8x8

Пример 7.

Найдём

arcsin 6xdx . Берём

arcsin 6x, dV dx

и,

очевидно,

V x (постоянную C не пишем). Кроме того, dU

d arcsin 6x

6dx

, тогда

36x2

arcsin6xdx

x arcsin6x

6dx

36x2

где интеграл

6xdx

можно найти так:

1 36x2

6xdx

72xdx

36x2

d 1

36x2

2 1

36x2 C .

36x2

1 36x2

36x2

xdx

Удобно запомнить, что

kx2 C

при любом k 0 . Итак,

kx2

Ответ: arcsin 6xdx

x arcsin 6x

36x2

C .

Более сложные интегралы вида

xn arcsin xdx при n 1 обычно находят так:

заменой arcsin x t сводят к интегралу

t sinn t cost dt ;

выбирают U

t , dV

sinn t cost dt ;

по частям приходят к интегралу

sinn 1 tdt ;

4) берут его по стандартной схеме, приведённой в любом учебнике.

§ 6. Замечание о двух способах интегрирования

Иногда возникают следующие ситуации:

а) перед интегрированием по частям необходимо заменить переменную; б) замена переменной необязательна, но упрощает или ускоряет интегри-

рование по частям; в) интеграл можно найти как по частям, так и заменой переменной.

e 4 2 x dx

t2 ,

Пример 1.

? Пусть

t , тогда 4

tdt , после чего

e 4 2 x dx

et tdt .

Интеграл

et tdt легко берётся по частям:

et tdt

et t

, поэтому

e 4 2 x dx

et t et

C et 1 t C e 4 2 x 1 4 2x C .

t2 ,

Пример 2. Найдём

cos 3

6xdx . Обозначим

t , откуда 3

t 2

и dx

dt . Тем самым

cos

6xdx

cost

tdt , где t

6x .

Интегрируя по частям, получим, что

t costdt

t sin t

cost

C1 .

Значит, cos 3

6xdx

sin

cos

C .

ЗС1. Заменив переменную и проинтегрировав по частям, найдите

1) e x dx;

2 x dx;

e x 2 dx;

e 3x 2 dx;

e 5 3x dx;

6 5 3x dx ;

2) sin

xdx;

cos

xdx;

sin

3dx;

cos

1dx;

sin

7xdx .

Пример 3.

xdx

1-й способ. Заменим x

t , тогда x

3, dx

dt , и поэтому

xdx

2dt

3 t 3dt

t 1

t 2

C .

3 3

2t 2

Но t

x 3 , и тогда

xdx

C .

3 3

2 x

3 2

2-й способ. Обозначим x

U , тогда dV

. Находим dU

dx , а также

x 3 3 dx

x 3 2

3 3

По формуле интегрирования по частям

xdx

2 dx .

3 3

3 2

Поскольку

2 dx

, то

xdx

C .

3 3

3 2

Результаты после упрощения отличаются только числом, что объясняется произвольным характером постоянной С.

Пример 4. Найдём

1dx заменой, а затем – по частям.

1-й способ. Заменим

t , тогда x

t 2

2tdt . Подставим:

1, dx

5 C .

1dx

1 t

2tdt

2 t

Но t

1 , поэтому

x 1 3 3 x 1 5 C

x x 1dx

x 1 3x 2 x 1 C .

3/ 2

2-й способ. Выбираем x

U ,

x 1 , тогда V

1dx

3 / 2

dU dx . Подставим в формулу интегрирования по частям:

x 1 3/ 2

3/ 2 dx

x x 1 3/ 2

x 1 5 / 2

C .

x x 1dx

x 1

3 / 2

5 / 2

Упростим, чтобы сравнить с тем, что получено ранее:

	2	x 1 3/ 2		2			2		3	x	2	C .
x x 1dx	2		x	2	x 1	C	2	x 1 x 1	3		2
x x 1dx			x		x 1	C		x 1 x 1
	3			5			3		5		5

Результаты совпадают.

ЗС2. Найдите интегралы двумя способами – по частям и заменой переменной. Сравните результаты. Оцените, какой способ проще или удобнее:

dx;

2x 3

dx;

3 x

dx;

3x 1

dx ;

x 1

2x 5

4 2x

2) x

2dx;

x 3

2dx; x

5dx;

3 xdx;

6x 3

2xdx ;

dx;

x 1

dx;

4x 5

dx .

x 1

1 x

x 3

4x 3

3 8x

Пример 5. Интеграл

ln xdx можно найти по частям, взяв ln x U и dV

dx :

ln xdx

x ln x

C .

А можно заменить ln x

t , тогда x

и dx

et dt , и потому

ln xdx

tet dt .

Взяв t

U и соответственно dV

et dt , применяем интегрирование по частям:

tet dt tet

et dt tet

C .

Но t

ln x

и et

x , и, возвращаясь к старой переменной, получаем тот же ответ.

Пример 6. Интеграл

ln x

dx можно найти по частям:

ln x

5 dx

ln x 1 x

C ,

ln xdx

ln x

5x5

5 5

Источник: https://studfile.net/preview/16711256/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27