Материал: 5652

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

(i)

sup n an (T , ) c	r	,	(5.4)
n	r
n

(ii) если		r	, то
		r

lim sup n an (T , n ) c	r	.	(5.5)
n	r
n

Всюду в статье неравенство A << B означает A << c ∙ B, где константа, c > 0,

абсолютная или зависит только от p,q, α. Соотношение A ≈ B понимается как

A << B << A. Обозначения := и =: используются для определения новых вели-

чин; N, Z – множества всех натуральных и целых чисел соответственно; K

означает либо конечное, либо счётное бесконечное индексное множество,

символизирует конец доказательства.

§2 Оценки an (T , ) и

Lq (I ) на интервале I (a, b) (0, )

Критерий ограниченности и компактности оператора Римана – Лиувилля заключён в следующей теореме.

Теорема 5.3[32]. Пусть I = (a, b), 0 ≤ a < b ≤ ∞, α > 0,

0 < q < p < ∞,

, p max(1/ , 1). Тогда

(i) оператор Tα, υ ограничен из Lp(I) в Lq(I), если

s / p

1/ s

(x)(x a) 1

qdx

(t)(t a) 1

q dt

b t a s / p

причём

T ,	L p (I )	Lq (I )	B.

(ii) оператор Tα, υ : Lp(I) → Lq(I) компактен, если

B < ∞.

Из теоремы следует, что если Tα, υ : Lp(I) → Lq(I) ограничен, то

Lq (I )

для любого внутреннего интервала I

I . В частности, если Tα, υ : Lp(0, ∞) →

Lq(0, ∞), то υ Lq(I) для любого I = (a, b) при 0 < a < b < ∞.

Лемма 5.2.1. Для 0 < q < 1 < p < ∞,

N на конечном интервале

I (a, b)

(0,

) выполняется оценка

T ,

(I )

1/ p

Lq (I )

L p (I ) ,

(5.6)

для всех

L p (I ).

Доказательство. Применяя неравенство Гельдера с показателями p и p', получаем

1/ q

x(x t)

1 f (t)dt

T ,

(x)

Lq (I )

1/ q

1/ p

(x)

q dx

f (t)

p dx

b t

( 1) p dt

1/ p

L (I )

(I ). ⁪

В дальнейшем величина

(I )

1/ p

Lq (I )

(5.7)

будет играть важную роль, поэтому в леммах 2.2 – 2.3 докажем ряд её

свойств на конечном интервале I (0, ) .
Лемма 5.2.2. Пусть 0 < q < 1 < p < ∞,				1			1		1	.
Лемма 5.2.2. Пусть 0 < q < 1 < p < ∞,										.
					r			p	r
	N
(i) Для	Lq (I ) и Ik	справедливо неравенство
	k 1
	N		1/ r						(5.8)
	N		r
	J	, (I k )	r			J ,	(I ).
	J	, (I k )				J ,	(I ).
	k 1
										N
(ii) Для 1,	2 Lq (I ) и любого разбиения интервала Ik имеем
										k 1
			52

1 (Ik )r

, 2 (Ik )r

(I )r .

J ,

(5.9)

k 1

Доказательство. (i) Применяя неравенство Гельдера с показателями

, получаем

( 1/ p)r

r / q

(

1/ p)r

q dx

J , (Ik )r

(x)

k 1

(

1/ p)r

r / q

qdx

(x)

(

1/ p)r

J r , (I ).

J ,

Lq (I )

k 1

(ii) Пусть

Lq (I ) , 0 < r < 1 и 0 < q < 1 < p < ∞, тогда

1 (Ik )r

2 (Ik )r

J ,

N Ik (1/ p)r k 1

N		( 1/ p)r
	Ik	( 1/ p)r	(
			Ik
k 1			Ik
k 1

N Ik (1/ p)r k 1

N Ik (1/ k 1

r / q

q r / q

r )q / r r / q

(

r )q / r r / q

Lq / r (Ik )

p)r

Lq / r (Ik )

N		( 1/ p)r			r
N
	Ik		1	2		Lq / r (Ik )
k 1
k 1		53
		53

(

1/ p)r

q / r r / q

k 1

( 1/ p)r

q r / q

k 1

(

1/ p)r

(Ik ) J

(I ).

Lq (Ik )

1 2

k 1

⁪Лемма 5.2.2 необходима для доказательства следующего утверждения.

Лемма 5.2.3. Пусть I

(a, b),

Lq (I ) . Тогда (i) справедливо равенство

1/ r

inf

: L

I ,..., I

(5.10)

Lr (I )

(ii) Для каждого n

N существует разбиение

, ..., In

интервала I такое, что

(I *)

... J

* ).

Доказательство. Равенство (5.10) докажем в три этапа. На первом этапе покажем, что

		N	1/ r
		N	J , (Ik )r .
Lr (I )	inf		J , (Ik )r .
Lr (I )	L	k	1
	L

Действительно, применяя неравенство Гельдера

1	, получаем
( 1/ p)r

q dx

r / q

(

(x)

(I )

(

1/ p)r

Lq (Ik )

с показателями	q	и
	r

1/ p)r

, (Ik )r .

Вторым шагом проверим (5.10) для ступенчатых функций

(t) ck Ik (t) k 1

для некоторого разбиения I1, ... , IN интервала I и сk ≥ 0.

r / q ( 1/ p)r cr

J , (Ik )r

Lr (I )

k 1

что в результате даёт

N	1/ r
N
J , (Ik )r		Lr (I )	.
J , (Ik )r			.
k 1
k 1

Далее зададим Lq (I ) и ε > 0, выберем φ ≥ 0 так, чтобы выполнялось неравенство

Lq (I )

(

1/ p) ,

(5.11)

которое по неравенству Гельдера влечёт

Lr (I )

(5.12)

При 0 < r < 1, используя (5.9), (5.11) и (5.12), получаем

J , (Ik )r

J ,

(Ik )r

2 r

k 1

Lr (I )

что при ε → 0 доказывает (5.10).

Для проверки (ii) зафиксируем n

N и определим функцию Φ на мно-

жестве n-разбиений интервала I:

(L) :

max

, (Ik )

min

, (Ik ),

I1, ...,

In . (5.13)

Функция Φ(L) непрерывно зависит от n-точек, определяющих разбиение

L-интервала I, следовательно, существует разбиение	*	*	0 , на кото-
	L ,	Ik

ром функция Φ достигает своего минимального значения. Покажем, что

Φ(L*) = 0.	(5.14)
Допустим, что существует другое разбиение L I1 , ..., In	L* , на ко-
тором функция (5.13) достигает минимального значения:
Φmin = Φ(L`) > 0.
55

Источник: https://studfile.net/preview/16711312/

Смотрите также:

1393
917
Rishat_Z3
АКУШЕРСКИЙ ТРАВМАТИЗМ
Вспомогательное оборудование агломерационного и доменного производства
Делопроизводство в Древнерусском государстве
Економічна характеристика США
Задачи - бактериальные менингиты
Измерение качества в сфере услуг
Имущественные преступления