Материал: 5652

Po

Pc Po

PoPo

Po.

(5.28)

*

*

*

и более того,

rank(Pc Po )

(nk

1)

(n

1) .

(5.29)

*

k

K

Далее, используя

(5.28),

лемму

5.2.5

и

(5.27)

для

каждой

функции

f L p (I ) , мы получаем

T ,

Po

T ,

Pc Po

f

Po f

T ,

*

q

*

q

1

r

nk

r

*

o

J

,

1

r

P

f

Ik, j

k K j

1

*

p

1

1

r

1

r

1 r J

)1 r

2

n

,

(I

k

f

p

k

K

1

r

r

r

2

n 1 r J

,

(I

k

)1 r

f

p

k

K

для всех f L p (I ) .

Поскольку

rank(T ,

PcPo )

rank(PcPo )

(n

1)

,

*

*

то из определения a-чисел, мы получаем

1

r

r

r

a

1)

1

T

,

Po

2

n 1 r J

,

(I

k

)1 r

.

(n

Базовой для супремальных и асимптотических оценок a-чисел является

следующая теорема.

Теорема 5.4. Пусть 0 < q < 1 < p < ∞,

I

(0, ),

L

Ik k K ,

I

Ik ,

o

: L p (I )

o

и

Lq (Ik )

для любого k, и последова-

P

L p (I ,

L)

k K

тельность натуральных чисел nk

такая, что n :

k K (nk

1)

1 .

Тогда

1/ r

an (T ,

Po )

n

J ,

(Ik )r

.

(5.30)

k

K

Доказательство. Поскольку

(nk

1)

(n

1)

n

1,

an (T , Po )

a(n 1)

1(T

, Po ).

(5.31)

Для каждого k выберем nk

так, чтобы

nk 1

n

J ,

(Ik )r

nk ,

(5.32)

n

(I j )r

J

,

j 1

и не ограничивая общности будем считать, что

J , (I j )r

.

j

K

Из (5.32) следует, что

r

r

r

r

)r 1

r J

)r .

1 r J

n

,

(I

k

)1

r

n 1

r

J

,

(I

k

,

(I

k

k

k

K

Отсюда из (5.26) и (5.31) мы получаем

1/ r

an

(T ,

Po )

2(n

)

J ,

(Ik )r

.

(5.33)

k

Далее пусть 1 < n

, тогда n = mα + l, где m

, l

0,

1 , l

.

Из (5.33) получаем

an (T , Po )

am l (T , Po )

am (T , Po )

1/ r

2(m

)

J

, (Ik )r

k

K

n

1/ r

1/ r

2n

J ,

(Ik )r

n

J , (Ik )r

,

n l

k

K

k

K

что в результате даёт

1/ r

an (T , Po )

n

J , (Ik )r

.



k

K

Теорема 5.5. Пусть I

(0,

), конечный интервал

Lq (I ) . Тогда

limsup n

an (T ,

)

Lr (I )

.

(5.34)

n

Доказательство. Для ε >

0 по

лемме

5.2.3

существует

разбиение

L I1, ..., I N

интервала I такое, что

N

1/ r

(Ik )r

J

,

(1

)

Lr

(I )

.

(5.35)

k

1

Пусть

T ,

T , Po

T , Pc ,

где P

o

: L p

(I )

o

(I )

и P

c

: L p (I )

c

L p

L p (I ) , тогда

q

Po

T ,

Pc )

q

(T , Po )

q

a

2n 1

(T

,

an

an (T , Pc ).

P c )

q

Pc )

Заметим, что rank(T

,

, и an (T

,

0 при n

N.

В силу теоремы 5.4 получаем

lim sup n

an (T , )

lim sup n

an (T ,

Po )

n

n

63

N

1/ r

J , (Ik )r

(1

)

Lr (I )

,

k 1

и результат теоремы следует при ε → 0.

§3 Оценки для an (T ,

: L p (0,

)

Lq (0, ))

D : l p lq

D xk :

k xk , x xk

l p ,

k

R .

Пусть 0 < q < 1 < p < ∞,

1

1

1

,

1

1

1

. Диагональный опера-

r

p

q

s

q

p

тор D ограничен из lp в lq, если

k

ls .

Действительно,

Dx

lq

k xk

q 1/ q

k 1

D

l p

lq

sup

sup

,

x

p 1/ p

x 0

l p

x 0

k

1

xk

p

применяя неравенство Гельдера с показателями

p

и

, получаем

q

q

p