Материал: 5652

Тогда найдётся номер k0

1, ..., n

такой, что

J ,

(Ik0 )

max

J , (Ik )

1 k

n

и

J ,

(Ik

0

)

J , (Ik 1 ).

Если теперь уменьшить

Ik 0

на достаточно малое δ, например

Ik 0

xk 0

xk 0 1

xk 0

xk 0 1

,

с условием, что в полученном новом разбиении

L

I1 , ..., In L

найдётся номер k1

1, ..., n , что

J , (Ik

)

max

J

, (Ik

) и J ,

(Ik

0

)

J ,

(Ik

).

1

1 k

n

1

min

( *)

0 при J

,

(I *) J

,

(I

*) ...

J

,

(I

* ),

1

2

n

что и заканчивает доказательство леммы 5.2.3. 

Пусть L Ik k K , I

Ik – представление интервала

I

(0, ) в

k K

Пусть pi ( y) , j 0, 1, ... ортонормированная в L2

(1, 2) система поли-

номов. Тогда для любого интервала I

(a, b)

(0,

) полиномы

p j,i (x): (b a) 1/ 2 p j

x b

2a

,

j

0, 1, ...

(5.15)

b

a

56

I

p j, i (x)

p dx (b a)1 p / 2

12

p j (s)

p ds : c j, p

I

1 p / 2 , p 0.

(5.16)

p j, k :

p j, I

k

.

Определим проектор

c

: L p (I )

c

по формуле

PI

L p (I )

c

1

( f , p j, k )Ik p j, k (x) Ik (x),

PI

f (x) :

(5.17)

j

0 k

K

c

c

qk (x) I

(x), qk

1 .

L p (I ) L p (I , L)

k

k

K

1

обозначает совокупность всех полиномов степени не превосходящей α – 1.

Лемма 5.2.4. Если 1 ≤ p < ∞, то

Рc

f

f

.

(5.18)

I

L p (I )

L p (I )

Доказательство. Из (5.17) имеем

c

1

F j (x).

PI

f (x) :

j

0

Тогда при p > 1 имеем

F j

p

( f , p j, k )Ik

p

Ik

p j, k (x)

p

dx

L p (I )

k K

p

p

p

1

p ,

Ik

f

Ik

p j, k

Ik

p j, k

k

K

применяя (5.16)

c p 1c j, p

f

p

c p 1c j, p

f

p

,

j, p

k

K

Ik

j, p

L p

57

Po

:

id

Pc.

(5.19)

I

I

Тогда в силу разложения

1

yi

p j, I , yi

p j, I ( y)

j

0

I

для любого i

0 такого, что 0 ≤ i ≤ α – 1, следует

o

: L p (I )

o

PI

L p (I ),

где

o

f

L p (I ) :

y

i

f ( y)dy 0, j

0,1...,

1, k

K , (5.20)

L p (I ) :

Ik

причём по лемме 5.2.4

Рo f

f

.

I

L p (I )

L p (I )

Если sup p f

Ik ,

o

f L p (I ) , то

T f (x) 0, x Ik

(ak , bk ),

потому что, при x ≥ bk

k

1

T f (x)

(x y)

1 f ( y)dy

c j x

1 j

yi f ( y)dy 0.

Ik

j

0

Ik

o

выполнено дизъюнктное

Отсюда следует, что в подпространстве L p (I )

свойство

T

,

f

q

T , f

q

, f

o

(5.21)

Lq (I )

Lq (Ik )

L p (I ).

k K

Таким образом, формулы (5.17) и (5.19) задают ограниченные операторы

c

: L p (I )

c

PI

L p (I ),

Po

Pc

id

(5.22)

I

I

является тождественным оператором. В силу

(5.21) оператор T ,

дизъюнктен на

o

L p (I ) , а также заметим, что

o

c

o

c

(5.23)

T

,

T

, PI

T

, PI

:T

,

T

, .

Следующая лемма уточняет значение нормы оператора T ,

при его

o

(I )

и играет ключевую роль в получении

сужении на подпространство L p

дальнейших оценок.

Лемма 5.2.5.

Пусть 0 < q < 1 < p < ∞,

I

(0,

), L

Ik k 1,

I Ik и

Lq (Ik ) . Тогда для любой функции

f

o

(I , L)

L p

k 1

1

T

,

f

L

(I )

J

,

(Ik )

r /(1

r)

r

f

L p (I )

.

(5.24)

q

k

зателями

p

и

r

, мы получаем

q

r)q

(1

T ,

f

q

T ,

( Ik f

q

J

, (Ik )q

Ik f

q

q

q

p

k

k

(1

r)q

qr

r

q p / q q / p

J ,

(Ik ) (1

r)q

Ik f

k

k

K

p

(1

r)q

r

r

J ,

(Ik ) (1

r)

f

q

. 

k

p

Лемма 5.2.6.

Пусть 0 < q < 1 < p < ∞, I

(0,

),

L Ik k K ,

I Ik , P

o

: L p (I )

o

Lq (Ik ) для любого k. Зададим по-

L p (I , L) и

k 1

следовательность натуральных чисел

nk

таких, что

n

(nk

1)

1

.

(5.25)

k

K

Тогда

1

r

r

r

a

1)

1

(T

,

Po )

2

n

1

r J

,

(I

k

)1

r

. (5.26)

(n

k

k

K

*

*

L

Ik, j :1 j nk , k K .

J

,

(I

*

j

) n 1/ r J

,

(I

k

), 1

j n .

(5.27)

k,

k

k

P

c

: L p (I )

c

*

o

: L p (I )

o

*

L p (I , L ) и P

L p (I , L ) .

*

*

60