Материал: 5652

P

o

: L p (0,

)

o

((0,

);

)

L p

и

P

c

: L p (0,

)

c

((0, );

),

L p

o

);

) и

c

);

) сформированы от-

где подпространства L p ((0,

L p ((0,

носительно нового разбиения

0,

k :

k

Lop ((0,

);

)

Po (Lp (0,

))

f

Lp (0,

) :

k

y i f ( y)dy

0 ,

(5.41)

j 0, 1,

...,

1, k

K ,

c

);

)

P

c

(L p (0,

))

qk (x)

(x), qk P

1 .

(5.42)

L p ((0,

k

k

K

Тогда

T ,

T , Po

T , Pc ,

и по свойству (iii) аппроксимативных чисел

aq

(T

,

) aq

(T

,

Po )

aq

(T

,

Pc ).

(5.43)

n m 1

n

m

Лемма 5.3.1. При 0 < q < 1 < p < ∞ выполняется неравенство

sup n

q

(T ,

Po )

c

q.

qan

n

r

Доказательство следует применением теоремы 5.4 для I = (0, ∞) и

разбиения L

k k

.

Лемма 5.3.2. При 0 < q < 1 < p < ∞ выполняется неравенство

q

, Pc )

q .

sup n

qan (T

c

n

r,

Доказательство.

T , Pc f (s)

1

(s)T

( f , p j, k ) p j, k

k

(s)

j

0 k

1

1

(s)T

( f , p j, k )

k

(s)

T j f (s).

j 0

k

j

0

66

Пусть

j : L p

l p определён по правилу

j ( f )k

( f , p j, k )

,

p j, k

тогда, в силу леммы 5.2.4

Зададим

j : l p

c

j ( f )k

l p

c

L p .

f

L p

xk

p j, k

1

p j, k(s)

k

(s),

j xk (s)

L p (

k )

k Z

тогда

T j f (s)

T ,

j

j f (s).

Обозначим

j : l p

Lq

T j xk (s) T ,

j xk (s), s

i ,

T

j

x

k

(s)

(s)x

1

s

p

j,i

( y)(s y)

1dy

p

i

j,i

L p ( i ) 2i

(s)

xk

p j, k

1

p j, k ( y)(s y)

1dy

L p (

k )

k

k

i

R(1)

x (s) R(2)

x (s).

j

k

j

k

Определим

диагональный

оператор

D : l p

lq

по

формуле

D xi (s) xi i , где

i

i

1/ p

Lq ( i )

,

тогда

R(1) x (s) Y D x (s), s

i

,

j

k

k

где Y : l p

Lq имеет вид

Y y

k

(s)

(s) y

1

1 s p

j,i

( y)(s y)

1dy, s

i

.

p

i

j,i

L p ( i ) i

2i

iq(

1

)

q

q

q

q

2

q

s

1

Y yk

Lq

yi

Lq (

i )

2

(s)

2i

p j,i ( y)(s y)

dy

ds.

i

i

67

s

p j,i ( y)(s y)

1dy

j,i ( y)

(2i 1

y) 1dy

2i

i

0

p j,i (2i

)

(2

)

12i / 2 d 2( 1/ 2)i

0

p j ( )

(2

)

1d 2( 1/ 2)i.

a

(R(1) ) a

(YD)

a

(D) c a

(D).

Y

n

j

n

n

1 n

Для второго слагаемого, когда s

i

(2)

xk (s)

xk

p j, k

1

p j, k ( y)(s y)

1dy

R j

(s)

L p (

k )

k

k

i

1

1 l

l

l

xk

1 l

(s)

( 1)

C

s

p j, k ( y) y

dy,

l

0

1

k i

p j, k

k

L p ( k )

где Cl

– биномиальные коэффициенты.

1

Определим оператор V : l p

lq