Материал: 5652

множества. Равенство множеств. Собственное подмножество. Объедине-

ние и пересечение множеств. Разность множеств и дополнение. Свойства операций над множествами. Прямое (декартово) произведение множеств.

Вещественные числа

Множества натуральных и целых чисел. Множество рациональных чи-

сел. Арифметические операции над рациональными числами. Упорядочен-

ность и плотность рациональных чисел. Представление рационального числа в виде десятичной дроби. Понятие иррационального числа. Прибли-

жение иррационального числа рациональным с различными точностями.

Множество вещественных (действительных) чисел. Координатная прямая

(числовая ось). Геометрическое представление вещественных чисел. Ос-

новные свойства действительных чисел. Абсолютная величина (модуль)

вещественного числа. Основные равенства и неравенства при действиях с абсолютными величинами. Подмножества множества действительных чи-

сел (отрезки, полуотрезки, интервалы, числовые лучи). Ограниченные числовые множе-

ства. Границы числовых множеств. Метод математической индукции.

Отображения множеств

Отображение множества в множество. Образ и прообраз элемента.

Множество определения (задания) отображения и множество значений отображения. Образ множества при данном отображении. Сужение отоб-

ражения. Суперпозиция (композиция) отображений. График отображения.

Инъективные и субъективные отображения. Взаимно однозначное отобра-

жение множества на множество. Тождественное (единичное) отображение.

Обратимые отображения и обратное отображение к заданному. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества и мощность множества.

Счётные множества. Несчётные множества, континуум.

91

Раздел 2 Математический анализ

Функции и последовательности

Функция одной действительной переменной, последовательность. Спо-

собы задания функций и последовательностей. Монотонность и ограни-

ченность. Чётные и нечётные функции. Периодические функции. Основ-

ные элементарные функции и их графики. Класс элементарных функций.

Применение элементарных функций в экономике и естествознании.

Пределы последовательностей и функций

Предел последовательности и его геометрический смысл. Единствен-

ность предела. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Ограни-

ченность последовательности, имеющей конечный предел. Бесконечно ма-

лые и бесконечно большие величины, связь между ними. Связь между по-

следовательностью, её пределом и бесконечно малой величиной. Свойства бесконечно малых величин. Предел монотонной последовательности.

Окрестность точки. Предельные точки множества. Предел функции на языке последовательностей. Пределы функции по Коши. Односторонние пределы. Предельный переход в равенствах и неравенствах. Предел про-

межуточной переменной. Предел суммы, произведения, частного.

Неопределённые выражения. Замечательные пределы. Сравнения

бесконечно малых величин

делённостей. Замечательные пределы. Бесконечно малые высшего и более низкого порядков малости. Бесконечно малые одного порядка малости. Экви-

валентные бесконечно малые величины и их применение при вычислении пределов.

92

Непрерывность

Различные определения непрерывности функции в точке и их эквива-

лентность. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классифи-

кация. Непрерывность функции в области. Арифметические операции над

непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Непрерыв-

ность элементарных функций. Свойства непрерывных функций на отрезке.

Производные функций

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, её

геометрический, механический и экономический смыслы. Уравнения каса-

тельной и нормали. Эластичность функции. Непрерывность функции, имею-

щей конечную производную. Односторонние и бесконечные производные.

Правила дифференцирования. Логарифмическое дифференцирование. Произ-

водные высших порядков. Производные основных элементарных функций.

Дифференцируемые функции и дифференциал

Определение дифференцируемой функции и дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Связь между дифференцируемостью и существованием производной. Правила дифференцирования. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и их геометрический смысл. Теорема Коши. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя.

Исследование функций на монотонность и на экстремум

Условия постоянства, возрастания и убывания функций. Экстремумы, необходимые условия экстремума. Исследование на экстремум с помощью первой производной. Исследование на экстремум стационарных точек с помощью второй производной. Наибольшее и наименьшее значения функции. Задачи на оптимизацию.

93

Исследование функции на выпуклость и вогнутость

Выпуклость и вогнутость кривой. Достаточные условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Необходимые условия существования точки перегиба. Достаточный признак существования точки перегиба.

Арифметическое n-мерное пространство

Понятие n-мерного арифметического пространства. Расстояние между точками. Окрестность точки. Ограниченные, открытые, замкнутые, связные и выпуклые множества в n-мерном пространстве. Последовательности точек и их пределы. Покоординатная сходимость в n-мерном пространстве.

Функции нескольких переменных

Определение функции нескольких переменных. Графики функций двух переменных. Линии уровня. Пределы и непрерывность. Производные и дифференциалы. Производная по направлению и градиент функции. Свойства функций, непрерывных на ограниченных замкнутых множествах.

Экстремум функций многих переменных

Понятие экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум и метод Лагранжа. Метод наименьших квадратов.

Приложения функций в экономике

Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.

Неопределённый интеграл. Методы интегрирования

Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических функций.

Определённый интеграл

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение и свойства определённого интеграла. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

94

Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращений. Приложения интеграла в экономике.

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования. Несобственные интегралы по конечному промежутку интегрирования от неограниченных функций.

Двойные интегралы

Задача об объёме цилиндрического тела. Определение двойного интеграла. Интегрируемость непрерывной функции в замкнутой квадрируемой области. Основные свойства двойных интегралов. Вычисление двойных интегралов сведением к повторным интегралам.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям первого порядка. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка; теорема о существовании решения. Частные и общее решения. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными. Линейные уравнения первого порядка; методы Бернулли и Лагранжа нахождения их общих решений.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Задача Коши и краевая задачи. Частные и общее решения. Теоремы о структуре общих решений линейных уравнений (однородного и неоднородного). Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Приёмы нахождения частных решений неоднородных уравнений.

Числовые ряды

Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды, сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости положительных рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница.

95