Материал: 5691

горизонтальная прямая y a , а граничными прямыми будут y a

и

y a

(см. рис. 10).

xN 1

M n 1

a

xN

x2

x1

1

2

N+1

x

Рис. 10

Изображённая на этом рисунке полоса ширины 2

будет с умень-

шением

сужаться. Тогда

ясно

следующее: чтобы все точки

M n 1, M n

2 ,... попали в эту более узкую полосу, нужно увеличить но-

указать номер

( ) такой,

что при всех

n

N будет выполняться

(3.1). Раз говориться о номере, то

N (см. определение предела в логи-

ческих символах). Любое натуральное число, большее чем

, также будет

годиться в качестве нужного номера определения 1.

Докажем по

определению

1,

что

lim

n

1

1.

Возьмём

любое

n

0 . Так как

xn 1

n 1

1

1

1

,

n

n

n

1

то для отыскания значений n , удовлетворяющих неравенству

xn

,

достаточно решить неравенство

1

. Последнее неравенство выполняет-

n

37

ся при n

1

. Следовательно,

за номер

можно взять любое натуральное

число, не меньшее числа

1

.

Например,

(

)

1

1,

где

1

есть

целая

часть

числа

1

.

В

частности,

если

0,01,

то

N

1

1

101,

если

1, то

N

1

1 2,

если

10 , то

1

0,01

N

1

1

1,

и т.д. Геометрически это означает следующее: в окрест-

10

ность точки a

1 при радиусе

0,01 попадут члены данной последова-

тельности с номерами n

101, а при радиусе

10 – с номерами n

1

(очевидно, конечно, что и x1

2 принадлежит последней окрестности). В

качестве номера

в этом примере можно выбрать

1

при

1,

n

1

при

1.

Выбранные таким образом номера

для различных значений

будут

наименьшими из возможных.

Приведём примеры расходящихся последовательностей.

Рассмотрим последовательность с общим членом x

1 n 1

: 1,

1, 1,

1,....

n

Тогда по определению 1 для любой

0 , в частности и для

1

,

2

найдётся такой номер

, что для n

будет выполняться неравенство

xn a

1

. Поскольку

xn принимает поочерёдно значения 1 и

1, то

2

для n

1

1

. Ис-

будут выполняться неравенства

1 a

и

( 1)

a

2

2

пользуя эти неравенства, получим

2

1 a a ( 1)

1 a

a ( 1)

1 a

( 1) a

1

1

1,

2

2

т.е. 2

1, чего быть не может. Полученное противоречие означает, что

39

хn

Е.

(3.3)

С помощью логических символов определение 2 записывается так:

0

N

n N :

xn

.

lim xn

или xn

(в этих записях указание n

опущено). Обозначение lim xn

в ранее определённом смысле lim xn

a называть конечным пределом.

Запись

означает, что

номер

зависит от выбранного

нуть, что число

в определении 2 можно взять сколь угодно большим.

Символ

будем называть беззначной бесконечностью. Тогда при

любом

0 множество

, E E,

x R :

x

E

называется – окрестностью беззначной бесконечности (см. рис. 11).

о

о

О

x

– Рис. 11

Теперь можно дать геометрическую трактовку бесконечного предела

lim xn

. Определение 2 означает: при

0

N такой,

что

xN 1, xN 2 ,...

, E E,

.

Пусть

x

1 n 1n :1, 2, 3,

4, .... Докажем,

что

lim x

n

.

n

Неравенство (3.3) для данной последовательности имеет вид

xn

1 n 1n

1 n 1

n

n E .

Следовательно, оно выполняется для всех n E n

E

xn

n

E .

40

Тогда при любом

E

0 за номер

можно взять

E 1

(при целых

E 0 можно даже взять

E ). Возьмём несколько кон-

кретных чисел E : 1)

E

0,1,

1; 2) E

100 ,

101 (можно взять

100 ); 3) E

1000,2 ,

1001.Заметим, что с увеличением E воз-

растает и номер .

Рассмотрим теперь бесконечные пределы со знаком какого-либо ви-

да, т.е.

lim xn

,

lim xn

или xn

.

Дадим их определения с помощью логических символов.

Определение 3.

lim xn

0

N

n

N : xn

E .

(3.4)

Определение 4.

lim xn

0

N

n

N : xn

E .

(3.5)

Символ

будем называть отрицательной бесконечностью. Тогда

при любом

0 множество

,

называется

-окрестностью отри-

цательной бесконечности. Символ

будем называть положительной

бесконечностью,

а

промежуток

E,

при

любом

0–

-

окрестностью положительной бесконечности. При выбранном

0

объединение этих окрестностей даёт

-окрестность беззначной бесконеч-

ности (см. рис. 11).

Геометрическая интерпретация бесконечных пределов со знаком та-

кова: при

0

такой, что

1) xN 1, xN 2 ,...

,

E в случае lim xn

,

2) xN 1, xN 2 ,...

E,

в случае lim xn

.

Примером последовательности, стремящейся к

, будет xn

n ,

а к

– xn

n . Очевидно, что при любом

0 соответствующие нера-

венства xn

E , xn

E будут выполняться, если положить

E

1.

Сопоставляя определения 2 и 3 с определением 1, видим, что если

lim xn

или lim xn

,

то lim xn

. Обратное утверждение не

верно. Это видно из рассмотренного примера xn

1 n 1n . Уже пока-

зано,

что lim xn

. Эта последовательность такова: 1,

2, 3,

4, ...;

она не стремится ни к

, ни к

.

Последовательности, стремящиеся к бесконечности какого-либо ви-