Документ: 5691, страницы 31-35 | База учебных материалов

31

4) x

1

;

5) x

n

;

6) x

1

;

n

2n

n

2n

n

n!

7) xn

1 ( 1)n 1;

8) xn

1

;

9) xn

( 1)n 1

;

n

10) x

1

;

11) x

(

1)n 1

;

12) x

( 1)n 1n2.

n

n2

n

n2

n

3. Записать в каком-нибудь виде формулу общего члена следующих последовательностей:

1)1, 4, 6, 8, 10, ...;

2)12 , 23 , 34 , 54 , ...;

3)1, 3, 9, 27, 81, ...;

4)12 , 14 , 18 , 161 , ...;



5)	1 2,		2 3,	3 4,			4 5, ...;
6)	3	,	5		,		7	,	9	, ...

	22 32		32	42		42	52		52 62

7)sin1, sin 2, sin 3,...

4.Выпишите последовательности, члены которых являются десятичными приближениями по недостатку к следующим числам:

	1				1
								4) 7.
1)			;	2)		;	3) 3;
1)		3	;	2)	7	;	3) 3;
		3			7

5. Найдите явную формулу общего члена последовательности, заданной

рекуррентной формулой
xn	1		xn		rx1		n	1 ,
при известном числе r и первом члене x1.
6. Найдите формулу для		xn ,			если последовательность xn задана
рекуррентно:
xn		xn			1	,	x1	1.
	1
	1			n(n 1)
				n(n 1)

7. Требуется двумя способами изобразить геометрические последовательности xn , заданные их общими членами:

32

1) xn

n;

2) xn n2;

3) xn

1

;

4) xn

1

;

2n

n

2

5) xn

1 ( 1)n 1;

6) x

1 ( 1)n

;

7) xn ( 1)n 1n.

n

8. Найти сумму, разность, произведение и частное последовательностей, заданных их общими членами:

1) xn

1, yn

1

;

2) xn

1

, yn

n;

n

3) xn

n, yn

1

;

4) xn

1

, yn

n;

n2

5) xn

( 1)n

1

, yn n;

6) xn

1 ( 1)n 1, yn n.

n

9. Укажите, при каких действиях (операциях) над последовательностями важен порядок их выполнения. Поясните это каким-нибудь примером из упражнения 8.

10. Существует ли частное	xn	, если xn n, yn 1 ( 1)n 1 ?

	yn

11. С помощью логических символов запишите определение неограниченной снизу (сверху) последовательности.

12. Укажите промежуток, на котором находятся все члены ограниченной снизу (сверху) последовательности.

13. Приведите примеры следующих последовательностей:

1) ограниченной снизу, но неограниченной сверху;

2) ограниченной сверху, но неограниченной снизу;

3) неограниченной ни снизу, ни сверху.

14. Приведите примеры следующих последовательностей:

1)не принимающей ни наименьшего, ни наибольшего значений;

2)ограниченной последовательности, не принимающей ни наименьшего, ни наибольшего значений.

15.Выяснить, какие из последовательностей упражнений 1 и 2 являются

1)ограниченными снизу;

2)ограниченными сверху;

3)ограниченными;

4)неограниченными.

33

16. Доказать, что последовательности с общими членами

1)	xn	n	;	2)	xn	n2		;	3)	xn	n4
		n 5				n					n4 10
							1

ограничены.

17.Приведите примеры следующих последовательностей:

1)ограниченной снизу, точная нижняя граница не является членом этой последовательности;

2)ограниченной сверху, точная верхняя граница не является её членом.

18.Пусть имеется последовательность с положительными членами

(xn

0) . Выясните, что следует из соответствующего неравенства:

1)

xn 1

1;

2)

xn 1

1;

3)

xn 1

1;

4)

xn 1

1.

xn

19. Докажите, что последовательности с общими членами

1) xn

n;

2) xn

n

;

3) xn

n3 n;

4) xn

n2

n

n2 10

1

строго возрастают.

20. Докажите, что последовательности с общими членами

1) xn

1

;

2) xn

n 1

;

3)

xn

n2

10

;

4) xn

lg 1

n4

8

n

n2

1

n4

строго убывают.

21. Заёмщик хочет купить у банка кредит в размере 80 млн руб. на 5 лет. Найти долг заёмщика и процентные деньги банка, если кредит будет выдан под 12% годовых:

1) по простой процентной ставке;

2) по ставке сложных процентов.

22. В настоящий момент времени население города составляет 600 тыс. человек. Определить численность населения этого города через 5 лет

при прогнозируемом постоянном темпе роста 102%

1,02 .

34

Глава 3. Теория пределов последовательностей

3.1. Определение предела последовательности

Существуют последовательности, члены которых с увеличением аргумента (номера n ) приближаются к некоторому конкретному для данной

последовательности числу a . Иначе, расстояние					(xn , a) от точек xn до
фиксированной		точки	a	на числовой оси	Ox стремится к нулю

(xn , a)	xn	a	0 .	Любую такую последовательность называют

сходящейся, а число a – её пределом.

Перейдём к строгим определениям этих понятий.

Определение 1. Число a называется пределом последовательности

(xn ) , если для любого положительного числа				существует такой номер
( ) , что при всех n		выполняется неравенство
	xn	a	.	(3.1)

С помощью логических символов определение записывается так:

0		( )	N		n	:	xn a	.
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (точ-
нее, сходящейся к a ).
Если последовательность			xn	сходится и имеет своим пределом
число a , то символически это записывается так:
	lim	xn	a или xn		n	a.
	n				n
Иногда в этих записях указание, что n						, опускают.
Последовательность,		не	являющаяся			сходящейся,		называется
расходящейся.
Запись	( ) в определении предела последовательности озна-
чает, что номер	зависит от выбранного числа						(конечно,	и от самой
последовательности). На примерах убедимся, что чем меньше								, тем но-

мер , вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, ко-

гда последовательность стационарна (постоянна):

a, a,..., a,....


	Пределом этой последовательности является число a , а неравенство
(3.1)	выполняется для любого n , какое бы число		0 ни взяли (для лю-
бого	0 ) номер	можно взять равным единице). Аналогичное обстоя-
тельство имеет место для последовательности (xn ) ,			значения которой с
некоторого номера		равны одному и тому же числу a . В этом случае

пределом будет это число a , а все члены xn , номера которых начинаются

35

с , совпадают со своим пределом a . Таким образом, есть такое число 1, что для всех 0 1 номер уже меняться не будет. Последо-

вательности последнего типа называют финально постоянными.

Особо отметим, что в определении 1 число 0 можно взять сколь угодно малым. В этой ситуации неравенство (3.1) означает, что элемент

xn от a по абсолютной величине будет отличаться сколь угодно мало.

Можно также сказать, что число в определении предела задаёт точность приближения членов последовательности к числу a .

Вычислим геометрический смысл понятия предела последовательности. При этом будем исходить из двух способов геометрического изображения последовательностей (см. гл. 2).

Сначала будем исходить из изображения членов последовательности

точками на Ox .
	Неравенство (3.1) равносильно неравенствам					xn	a	или
a	xn a	.
	Следовательно, определение означает,				что члены последовательно-
сти (xn ) , имеющей пределом a , с номерами n						попадают в интервал
(см. рис. 9)
		a	, a	,				(3.2)
который называется –окрестностью точки a :
		xN 1, xN 2 ,...		a	, a	.
	a		a	xN 2	xN 1	a	x
			a	xN 2	xN 1	a	x

Рис. 9

Вне интервала (3.2) может оказаться лишь некоторое число из точек x1 ,...,xN . Но могут и эти точки попасть на интервал (3.2). Это зависит от

выбора числа	. Конечно, если			взять большим числом, то уже все чле-
ны последовательности будут принадлежать такому интервалу.
Если на плоскости в выбранной системе координат Oxy провести
окружность с центром в точке a,0				радиуса	, то она пересечёт ось Ox в
точках a	и a	. Поэтому число можно трактовать как радиус этой
окружности.
Теперь	обратимся		к изображению последовательности точками
M n (n, xn )	на плоскости в выбранной системе координат Oxy . Тогда
определение 1 будет означать, что все точки
	M n 1(N		1, xN 1),	M n 2 (N	2, xN 2 ),...

Материал: 5691

Смотрите также: