Материал: 5695

мента при нормативном прогнозировании могут быть использованы теория графов, матричный подход и др.

Сущность целевого прогнозирования заключается в решении обратной задачи: в отыскании условий для достижения в будущем норм, задаваемых в виде строго определённых и обоснованных величин. Решение этой задачи обычно осуществляется методами математического программирования. Комплекс методов прогнозирования постоянно совершенствуется и пополняется новыми методами. Одной из центральных проблем является разработка обоснованной классификации и выбор методов прогнозирования. Попытки создания такой классификации делались неоднократно. В настоящее время имеется большое количество классификационных схем методов прогнозирования, в основу которых положены различные классификационные принципы. Однако классификация прогнозов по методам их разработки затрудняется отсутствием единой классификации методов. Наиболее важными классификационными признаками методов прогнозирования, по мнению большинства авторов, являются следующие: степень формализации, общий принцип действия, способ получения прогнозной информации. По степени формализации методы прогнозирования можно разделить на интуитивные и формализованные. Интуитивные применяются тогда, когда невозможно учесть влияние многих факторов из-за значительной сложности объекта прогнозирования либо когда объект слишком прост. Эти методы базируются на информации, которая получается по оценкам специалистов-экспертов. Формализованные методы базируются на фактически имеющемся информационном материале об объекте прогнозирования и его прошлом развитии.

Классы интуитивных и формализованных методов прогнозирования по своему составу аналогичны экспертным и «фактографическим» методам. Фактографические методы имеют источник информации об объекте прогнозирования, основанный на фактических данных, необходимых для достижения цели прогнозирования; экспертные методы базируются на информации, полученной по оценкам специалистов-экспертов.

5.2 Методы экстраполяции на основе кривых роста

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики – на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на

123

экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образовании одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики. Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

–временной ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т. е. преобладающую тенденцию;

–общие условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения.

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

ŷt = a0 +а1t (полином первой степени);

ŷt = a0 + a1t + a2t2 (полином второй степени);

ŷt = a0 + a1t + a2t2 +a3t3 (полином третьей степени).

Параметр a1 называют линейным приростом, параметр a2 – ускорением роста, параметр a3 – изменением ускорения роста.

Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле

ut = yt - yt-1, t = 2,3,…, n,

то они будут постоянной величиной и равны a1.

124

Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов u2, u3, … на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты

ut(2) = ut - ut-1

для полинома второй степени будут постоянны.

Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле

ut(3) = ut(2) – ut-1(2),

будут постоянной величиной.

На основе сказанного можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

–от полинома высокого порядка можно путём расчёта последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

–значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции ŷt .

Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента представляется в виде функции

ŷt = abt,

где a и b – положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы – функция убывает.

125

Можно заметить, что ордината данной функции изменяется с постоянным темпом прироста. Если взять отношение прироста к самой ординате, оно будет постоянной величиной:

Прологарифмируем выражение для данной функции по любому основанию:

log ŷt = log a + t log b.

Отсюда можно заметить, что логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени.

Модифицированная экспонента имеет вид

ŷt = k + abt,

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

Если прологарифмировать первые приросты данной функции, то получится функция, линейно зависящая от времени, а если взять отношение двух последовательных приростов, то оно будет постоянной величиной:

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к ка- кому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные

126

кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую. Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

где a, b – положительные параметры, причём b меньше единицы; параметр k – асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом – прирост функции незначителен, на втором – прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом – происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S. Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции – линейная функция времени.

На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида, – возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде

другие виды этой кривой:

k

ˆyt 1 10a bt .

В этих выражениях a и b – положительные параметры; k – предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.

Если взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна

127