Материал: 5695

достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату её значения (ординаты) есть линейная функция от времени.

Конфигурация графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.

Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется конкретный временной ряд y1, y2, y3, …, yn. Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространённым методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух величин (тренда и случайной величины), и во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней.

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда.

Рассмотрим методы определения параметров отобранных кривых роста. Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выравненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.

Таким образом, при моделировании экономической динамики, заданной временным рядом, путём сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трендовых моделей для исходного временного ряда. Встаёт вопрос о том, насколько эти модели близки к экономической реальности, отражённой во временном ряду, насколько обосновано применение этих моделей для анализа и прогнозирования изучаемого экономического явления.

128

5.3 Методы экстраполяции на основе адаптивных методов прогнозирования

Параметры уравнений аппроксимирующих кривых роста не свободны от погрешностей и могут изменять свои оценки при исключении части имеющихся членов ряда либо добавлении новых членов ряда динамики, что отражается на точности расчётных значений уровней ряда динамики. Кроме того, параметры моделей тренда, полученные методом наименьших квадратов, остаются неизменными в течение всего рассматриваемого периода. На практике же нередки случаи, когда параметры моделей меняются, а сглаживающие процедуры с помощью метода наименьших квадратов не могут уловить такие изменения. Поэтому более эффективными оказываются адаптивные методы, в которых значимость уровней ряда динамики убывает по мере их удаления от прогнозируемого периода. К ним относятся: метод экспоненциального сглаживания и его модификации; метод гармонических весов и другие, входящие в класс адаптивных методов. Они позволяют строить самокорректирующиеся модели, которые, учитывая результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и различную информационную ценность членов динамического ряда, способны оперативно реагировать на изменяющиеся условия и на этой основе дать на ближайшую перспективу более точные прогнозы.

Метод экспоненциального сглаживания. Особенность его состоит в том,

что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней ряда динамики, взятых с определённым весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаженное значение. Сглаженное значение уровня ряда St на момент t определяется по формуле

St= αyt +(1-α) St-1;

где St – значение экспоненциальной средней в момент t; St-1 – значение экспоненциальной средней в момент (t- 1); yt – значение экономического процесса в момент t; α – вес t-го значения ряда динамики (или параметр сглаживания

[0<α<1]).

Из формулы видно, что при вычислении экспоненциальной средней St используется лишь предыдущая экспоненциальная средняя St-1 и последнее наблюдение yt, а все предыдущие уровни ряда «забываются».

129

Последовательное применение формулы даёт возможность вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики. Кроме того, она определяет экспоненциальные средние первого порядка, т.е. средние, полученные непосредственно при сглаживании исходных данных ряда динамики. В тех случаях, когда тенденция после сглаживания исходного ряда определена недостаточно ясно, процедуру сглаживания повторяют, т.е. вычисляют экспоненциальные средние 2-го, 3-го и т.д. порядков.

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникают некоторые затруднения. Основными из них являются выбор значения сглаживающего параметра α и определение начального условия у0. От численного значения параметра α зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень. Чем больше значение параметра α, тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и соответственно меньшим оказывается сглаживающее воздействие экспоненциальной средней. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания составляет задачу оптимизации модели, которая до сих пор до конца ещё не решена.

Автор метода экспоненциального сглаживания английский ученый Р.Г. Браун предложил следующую формулу расчёта α:

m2 1 ,

где m – число уровней, входящих в интервал сглаживания. Величина m, следовательно, и α определяются в этом случае эмпирически. В качестве удовлетворительного практического компромисса он рекомендует брать α в пределах от 0,1 до 0,3. Поиск оптимального значения параметра сглаживания адаптивных полиномиальных моделей может осуществляться также путём перебора различных его значений. В этом случае в качестве оптимального выбирается то значение α, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки прогнозирования, вычисленная либо при реализации процедуры сглаживания всего ряда динамики либо на неиспользованном в расчётах участке ряда, специально оставленного для проверки качества прогнозных моделей.

Задачу выбора параметра у0, определяющего начальные условия, предлагается решать следующим образом: если есть данные о развитии явления в прошлом,

130

то в качестве у0 можно использовать среднюю арифметическую всех имеющихся уровней ряда динамики или какой-то их части, т.е.

1 n

n i 1 yi .

Если же таких сведений нет, то в качестве у0 используют исходное (первое) значение уровня ряда динамики у1. Вес, приписываемый этому уровню, быстро уменьшается по мере отдаления от первого уровня ряда, вместе с этим быстро уменьшается его влияние на размер экспоненциальной средней.

Метод экспоненциального сглаживания по сравнению с другими методами прогноза имеет достоинства и недостатки. В числе достоинств метода необходимо отметить его точность, которая увеличивается с увеличением числа уровней динамического ряда. Недостатком метода является то, что отсутствует точный метод для выбора оптимальной величины параметра сглаживания α. Точность прогноза по этому методу падает с увеличением прогнозного интервала. Он эффективен для краткосрочных прогнозов, в прочих условиях его можно использовать для получения приближенных оценок.

Более рациональным способом дисконтирования информации является метод гармонических весов. Этот метод был разработан польским статистиком З. Хелвигом. Он близок к методу простого экспоненциального сглаживания, использует тот же принцип. В его основе лежит взвешивание скользящего показателя, но вместо скользящей средней используется идея скользящего тренда. Экстраполяция проводится по скользящему тренду, отдельные точки ломанной линии взвешиваются с помощью гармонических весов, что позволяет более поздним наблюдениям придавать больший вес.

Метод гармонических весов базируется на следующих предпосылках1:

–период времени, за который изучается экономический процесс, должен быть достаточно длительным, чтобы можно было определить его закономерности;

–исходный ряд динамики не должен иметь скачкообразных изменений;

–прогнозируемое социально-экономическое явление должно обладать инерционностью, т.е. для наступления большого изменения в характеристиках процесса необходимо, чтобы прошло значительное время;

–отклонения от скользящего тренда (Еt) имеют случайный характер;

1 Френкель А. А. Математические методы анализа динамики и прогнозирования производительности труда. М. : Экономика, 1972. С. 102.

131

– автокорреляционная функция, рассчитанная на основе последовательных разностей, должна уменьшаться с ростом t, т.е. влияние более поздней информации должно сильнее отражаться на прогнозируемой величине, чем на ранней информации. Для получения точного прогноза методом гармонических весов необходимо выполнение всех вышеуказанных предпосылок для исходного ряда динамики.

Для осуществления прогноза данным методом исходный ряд динамики разбивается на фазы k. Число фаз должно быть меньше числа членов ряда n, т.е. k < n. Обычно фаза равна 3 – 5 уровням. Для каждой фазы рассчитывается линейный тренд, т.е.

yi(t) = ai + bikt (i=1, 2, …, n - k + 1).

При этом

для i= 1, t = 1, 2, …, …k;

для i= 2, t = 2, 3, …, …k + 1;

для i=n – k + 1, t = n- k + 1, n – k + 2, …, n.

Для оценки параметров используется способ наименьших квадратов.

С помощью полученных (n – k + 1) уравнений определяются значения скользящего тренда. Данный метод прогнозирования применяется, когда есть уверенность, что тенденция в будущем описывается плавной кривой, т.е. в ряду динамики отсутствуют сезонные и циклические колебания.

В рассмотренных выше методах прогноза прогнозируется только детерминированная величина ряда динамики и не учитывается случайная величина. Чтобы сделать прогноз более точным, надо отыскать закономерность изменения во времени этой случайной величины и сделать её прогноз. Затем результаты прогноза детерминированной и случайной величин объединяются. Сумма двух полученных таким образом прогнозов даёт общий суммарный прогноз экономического показателя по одному ряду динамики.

Одним из методов прогнозирования случайной величины является метод авторегрессии. В основе метода лежит гипотеза стационарности изучаемого явления, т. е. сохранения статистических характеристик явления без изменения на ретроспективном промежутке времени, в настоящем и будущем. В качестве ин-

132