Материал: 5695

формации, привлекаемой для прогноза, используется ряд динамики случайной прогнозируемой величины. Относительно случайной величины εt выдвигается гипотеза о том, что она представляет собой стационарный процесс.

Пусть дан ряд динамики некоторого экономического показателя

yt = f(t) + εt .

Чтобы выполнить прогноз по модели стационарных случайных процессов, необходимо проверить гипотезу о том, что отклонения от тренда εt носят случайный характер.

Авторегрессионные модели можно применять при прогнозировании изучаемых экономических показателей динамического ряда только при выполнении следующих предпосылок:

–отклонения от тренда εt представляют собой стационарный в широком смысле случайный процесс;

–отклонения от тренда εt являются случайной величиной, не зависящей от времени;

–отклонения от расчётных значений, полученных по авторегрессионной модели, имеют нормальный закон распределения с математическим ожиданием, равным 0;

–в ряду отклонений от расчётных значений, полученных по авторегрессионной модели, отсутствует автокорреляция.

После того как проведена выполнимость указанных предпосылок и вычислены коэффициенты авторегрессионной модели, прогнозируем значения yt на период (t+l) по авторегрессионной модели следующим образом.

Сначала вычисляется значение y*t+1 по формуле

y*t+1 = a1yt +a2yt-1 + … + apyt-p .

Затем это значение подставляется в модель

y*t+2 = a1y*t+1 +a2yt + … + apyt-p + εp

и находится значение y*t+2 и т.д.

Параметры уравнения ai находятся по способу наименьших квадратов. Важным является оценка погрешности полученного прогноза. Доверитель-

ный интервал прогноза будет

133

yt* - t εt < yt < yt*+ t εt ,

где уt – фактическое значение уровня временного ряда; yt* – прогнозное значение уровня ряда; 2εt – дисперсия случайной величины zt; tα – табличные значения t- критерия Стьюдента с (n – p ) степенями свободы и вероятностью ошибки α1.

5.4 Методы прогнозирования, учитывающие тренд и сезонность

Рассмотрим ряд проблем и основных понятий, связанных с исследованием сезонных колебаний в экономике. Сезонность, как правило, связывается исключительно со сменой природно-климатических условий в рамках ограниченного промежутка времени – годового периода. Наиболее ярко эта связь видна там, где исследуемые процессы прямо связаны с естественными особенностями того или иного времени года: в сельском хозяйстве, добывающих отраслях, отраслях легкой промышленности, обрабатывающих сельскохозяйственную продукцию, и др. Однако сезонные колебания формируются не только под влиянием природ- но-климатических факторов, но и, пусть в меньшей мере, под влиянием иных особенностей системы, уходящих корнями в экономику.

Влияние сезонности на экономику вполне очевидно и проявляется в аритмии производственных и других процессов: недогрузка производственных мощностей в одни периоды года и более интенсивное их использование в другие; неравномерное распределение внутри рамок года объёмов грузооборота и товарооборота и т. д. Не во всех случаях сезонность является следствием действия неуправляемых или почти неуправляемых факторов. Чаще всего они поддаются регулированию. Но даже и в тех случаях, когда прямое воздействие на процессы, вызывающие сезонные колебания, невозможно, необходимо учитывать их действие при совершенствовании технологических, организационно-экономических процессов и процессов управления. Для того чтобы можно было целенаправленно влиять на сезонность, необходимо уметь измерять и анализировать сезонность, уметь предвидеть развитие процессов, подверженных сезонным колебаниям.

Под сезонными колебаниями понимают регулярные, периодические наступления внутригодовых подъёмов и спадов производства, грузооборота и товарооборота и т.д., связанных со сменой времени года, а под сезонностью – ограниченность годового периода работ под влиянием того же природного фактора.

1 Статистическое моделирование и прогнозирование : учеб. пособие / под ред. А. Г. Гранберга. М. : Финансы и статистика, 1990. С. 170 – 196.

134

Временной ряд, согласно определению, представляет упорядоченную во времени последовательность наблюдений экономического процесса. Тогда если процесс подвержен периодическим колебаниям, имеющим определённый и постоянный период, равный годовому промежутку, то мы имеем дело с так называемым тренд-сезонным временным рядом (сезонным временным рядом). Почти всюду, где не оговорено специально, будем рассматривать тренд-сезонный временной ряд {Yt}, t = 1,T , порождаемый аддитивным случайным процессом:

Yt = Ut +Vt +εt , t = 1,T ,

где Ut – тренд;

Vt – сезонная величина; εt – случайная величина;

T – число уровней наблюдения.

Относительно Ut предполагается, что это некоторая гладкая функция, степень гладкости которой заранее неизвестна. Сезонная величина Vt имеет период T0;

V t T 0 = Vt

(T0 = 12 для ряда месячных данных; T0 = 4 – для ряда квартальных данных). Кроме того, известно, что T0 нацело делит Т, т.е. Т = m ×T0, m – целое число.

Очевидно, если T0 – число месяцев или кварталов в году, то m – число лет, представленных во временном ряду {Yt}. Часто исходные данные тренд-сезонного временного ряда представляются в виде матрицы {Yij} размера [m×T0]. В этом случае выражение для Yt перепишется с учётом введения двойной индексации:

Yij = Uij +Vij +εij , i = 1,m , j = 1,T 0 .

Запишем соотношения, устанавливающие связь между индексами t и (i,j):

t

i= 1 ;

T 0

j=t – (i- 1) × T0,

135

где выражение в квадратных скобках [ ] означает целую часть.

Постараемся выделить и кратко охарактеризовать задачи, возникающие при исследовании сезонности вообще и сезонных временных рядов в частности. Проблема анализа сезонности заключается в исследовании собственно сезонных колебаний и в изучении того внешнего циклического механизма, который их вызывает. Для исследования сезонных колебаний вне связи с причинами, их порождающими, очевидно, необходимо отфильтровать из временного ряда {Yt} сезонную величину Vt и затем уже анализировать её динамику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже сезонная величина. Тренд в чистом виде необходим и для анализа динамики сезонной волны.

При исследовании сезонной волны Vt чаще всего предполагается, что она не изменяется год от года, т.е. Vij = Vi+k,j , i + k ≤ m. На самом же деле такое предположение далеко от действительности, по крайней мере, для большинства экономических процессов. Для сезонной волны характерно изменение со временем как её размаха, так и формы. В результате возникает необходимость в анализе и предсказании изменений сезонной волны.

Перечислим теперь задачи, которые возникают при исследовании сезонных временных рядов:

–определение наличия во временном ряду тренда и определение степени его гладкости;

–выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний;

–фильтрация величин ряда;

–анализ динамики сезонной волны;

–исследование факторов, определяющих сезонные колебания;

–прогнозирование тренд-сезонных процессов.

Объясним суть некоторых понятий и дадим краткую характеристику каждого пункта. Под степенью гладкости тренда мы будем понимать минимальную степень полинома, адекватно сглаживающего величину Ut. Этот пункт используется в некоторых итерационных алгоритмах фильтрации при выделении из временного ряда {Yt} его величин Ut , Vt, εt.

Выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний сводится к проверке на случайность остаточного ряда:

lt ; lt= Yt - Ut .

136

Под фильтрацией величин ряда понимается выделение из ряда Y t его составляющих Ut,Vt, εt.

Анализ динамики, или эволюции, сезонной волны может рассматриваться как процесс решения трёх взаимосвязанных задач:

1.Анализ динамики амплитуды сезонной волны в каждом месяце (квартале, неделе).

2.Анализ динамики точек экстремума сезонной волны.

3.Исследование изменений формы волны.

В настоящее время развиваются три основных направления фильтрации величин временного ряда: регрессионные, спектральные и итерационные. Рассмотрим более подробно итерационные.

Итерационные методы фильтрации. При выделении (фильтрации) величин временного ряда с помощью тех или иных методов неизбежно встаёт вопрос о «чистоте» фильтрации, т.е. вопрос о степени близости оценок Uˆ t и Vˆ t их истинным значениям Ut, Vt. Следует отметить, что пока ни один из известных методов не обеспечивает необходимой степени чистоты фильтрации для временных рядов различной структуры.

Итерационные методы фильтрации составляющих временного ряда появились в своё время как результат признания невозможности выделения величин ряда прямыми методами. Основная идея итерационных процедур заключается в многократном применении скользящей средней и одновременной оценке сезонной величины в каждом цикле. При этом переход от одного шага итерационной процедуры к другому может сопровождаться изменением параметров скользящей средней. В некоторых итерационных методах, кроме того, используется регрессия (как правило, линейная) исходного ряда Yt на преобразованный в первом шаге ряд

Y t Ut .

Итерационные методы отличает простота и удовлетворительная «чистота» фильтрации величин ряда. Однако всем им присущ и весьма существенный недостаток. Применение скользящей средней приводит к потере части информации на концах временного ряда1.

Наряду с рассмотренной аддитивной моделью

Yt = Ut +Vt +εt

1 Экономико-математические методы и прикладные модели : учеб. пособие для вузов/ под ред. В. В. Федосеева. М. : ЮНИТИ, 1999. С. 163 – 198.

137