Материал: 6386

Глава 4. Исследование функций в MathCAD

•для логарифмической функции loga (g(x)) – область определения задается неравенством g(x) 0 ;

•для корня ng(x) четной степени n – область определения находится из

неравенства g(x) 0 .

Если имеется возможность сразу же оценить область значений функции, то это необходимо сделать.

Вычисление пределов функции в MathCAD

Самое главное при исследовании области определения – осмыслить поведение функции на ее границах – в особых точках и на бесконечности (при x ). На этом этапе, как правило, выявляются вертикальные асимптоты.

При этом используется такой шаблон, как предел функции справа (слева):

Листинг 6. Вычисление пределов в MathCAD

x 0 – вертикальная асимптота, при x функция стремится вверх со скоростью экспоненты, а при x монотонно возрастает бесконечно, приближаясь к нулю снизу.

Четность и периодичность функции

Следующий шаг – поиск точек пересечения с осями координат (корней уравнения f (x) 0 ) – детально рассматривалось в главе 3 данного пособия и

закреплялось в самостоятельно работе (Практическая работа №1. Вычисления на

MathCAD).

Упростить работу над исследованием функции помогает знание о четности/нечетности и периодичности/непериодичности функции. В MathCAD не имеется встроенных инструментов, позволяющих сразу дать ответ на эти вопросы, но методика вычисления значений f (x) в любой точке области определения и наличие

функции «модуль» x существенно облегчают работу в этом направлении.

Не забывайте, что определение периодичности функции рассматривается только для тригонометрических функций, остальные элементарные функции – непериодические.

Построение точек экстремума и точек перегиба

Из определения и геометрических свойств производной функции в точке следует, что изменение знака первой производной определяет участки монотонности функции и точки экстремума, а знак второй производной – участки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба.

В MathCAD существует встроенный инструмент, позволяющий аналитически находить производную любой функции, составленной из произвольной комбинации элементарных функций. Если же этого не достаточно, то существует возможность

численно находить производную любой функции в точке (из области определения).

26

polyroots(v). В качестве аргумента функции polyroots должен вводиться вектор

положенное количество раз.

В примере (Листинг 7) опущен процесс поиска корней производной функции dp(x) – точек экстремума и корней второй производной dp(x) – точек перегиба: этот поиск производится аналогично при помощи функции polyroots.

производная имеет 3-ю степень.

Листинг 7. Исследование экстремумов и перегибов

Возможность автоматически строить производные практически любой функции в комплексе с богатым набором средств отыскания корней функции (рассмотренным в

Гл. 3 Решение нелинейных уравнений в MathCAD) делают задачу отыскания точек экстремума и точек перегиба чрезвычайно легкой. Для этого необходимо:

• вычислить dp(x) df (x)dx – первую производную функции f (x) и найти ее

корни аналитически или численно (см. главу 3); найденные точки – точки экстремума, а интервалы между ними и границами области определения – участки монотонности;

• вычислить ddp(x) d 2 f (x)dx2 dp(x)dx – вторую производную функции f (x) (или первую производную от dp(x) ) и найти ее корни;

27

Глава 4. Исследование функций в MathCAD

найденные точки – точки перегиба, а участки, расположенные между точками перегиба и границами области определения – участки вогнутости или выпуклости.

Листинг 8. Исследование экстремумов и перегибов

y(x) : ln x 1 ; область определения D( y) ; 2 1; . x 2

Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Вычислим первую производную:

интервалах, на которые особые точки делят область определения функции:

Функция возрастает на интервалах ; 2 , 1; . Экстремумов нет. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба. Найдем вторую производную:

Особые точки x1 1, x2 2, x3 1.5 . Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые особые точки делят область определения функции:

Рис. 9 – Исследование экстремумов и перегибов (2)

Листинг 9. Исследование экстремумов и перегибов

y(x) : ex ; область определения D( y) ;0 0; . x

Рассмотрим поведение функции в особой точке:

28

Профессиональные математические пакеты

. y(x) 0 – вертикальная асимптота.

Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Вычислим первую производную:

Находим точки экстремума:

Первая производная пересекает ось ОХ в точке 1,e – экстремум. Определим знак

производной на интервалах, на которые особые точки делят область определения функции:

y(x) убывает убывает возрастает

Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба. Найдем вторую производную:

Особая точка x 0, действительных корней нет. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые особые точки делят область определения функции:

Рассмотрим поведение функции в особых точках:

y(x) 1 и y(x) 1 – вертикальные асимптоты.

29

Глава 4. Исследование функций в MathCAD

Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Вычислим первую производную:

Находим точки экстремума:

Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба. Найдем вторую производную:

30