Материал: 6386

Профессиональные математические пакеты

Горизонтальные или наклонные асимптоты ищутся в виде прямых y kx b ,

смещение по вертикальной оси.

Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.

Если k=0 и b , то наклонная асимптота станет горизонтальной.

Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции.

Рассмотрим примеры:

Листинг 11. Построение асимптот

Наклонная асимптота p(x) 14 x , вертикальная асимптота x 0.

Листинг 12. Построение асимптот

Листинг 13. Построение асимптот

Наклонная асимптота p(x) x , две вертикальных асимптоты x 1 и x 1.

31

Глава 4. Исследование функций в MathCAD

Листинг 14. Построение асимптот

Горизонтальная асимптота y 0 , вертикальная асимптота x 0 при x .

Данный параграф иллюстрирует, насколько облегчается задача исследования функции с использованием такого мощного инструмента как MathCAD. Выполняемая практическая работа служит для закрепления навыков исследования функций.

4.3. Практическая работа №2. Исследование функции.

Продолжительность – 4 часа.

Цель работы

1.Демонстрация возможностей MathCAD в части исследования функций. Закрепление уверенности в своих способностях и принципиальной убежденности в разрешимости задач любой сложности.

2.Приобретение компетенций в части применения средств MathCAD для исследования функции и построения ее графика. Закрепление школьных знаний по исследованию функций одной переменной на более серьезном академическом уровне.

Задание на практическую работу

1. Создать программу в среде MathCAD. Провести исследование функции f (x) в

соответствии с индивидуальным заданием (Таблица 6, Приложение 2) и построить ее график в MathCAD.

1.1.Построить область определения функции.

1.2.Описать поведение функции f (x) на границах области определения и на

бесконечности.

1.3.Найти точки пересечения f (x) с осями координат.

1.4.Установить, является ли функция чётной или нечётной.

1.5.Определить, является ли функция периодической или нет.

1.6.Найти точки экстремума и интервалы монотонности.

1.7.Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

1.8.Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

1.9.Найти горизонтальные и наклонные асимптоты функции.

1.10Построить график функции.

2.Составить отчет, в котором отразить листинг программного кода с комментариями и привести скриншоты с результатами работы программ и график анализируемой функции.

Контрольные вопросы:

1.Как связаны экстремумы функции и нули производной?

2.Как связана функция с экстремумами производной? Что происходит в этих точках?

3.Как установить при выводе на экран количество знаков после запятой?

4.Как задается точность численных расчетов в MathCAD?

32

Профессиональные математические пакеты

5.Что такое участок возрастания и убывания функции? Как эти участки связаны с поведением производной?

6.Как задается диапазон и шаг изменения переменной в MathCAD?

7.Опишите, как задать функцию и вычислить значение этой функции в точке?

8.Что такое корень уравнения?

9.Что такое непрерывная функция? Дайте строгое определение через пределы.

10.Что такое нули функции и как их вычислять?

11.Как построить в одном окне графики нескольких функции одного параметра? Как задать для них разные параметры?

12.Как найти горизонтальные и наклонные асимптоты функции?

13.Опишите способ вычисления нулей функции при помощи стандартной процедуры Given-Find как можно задать точность вычислений?

14.Что такое максимум и минимум функции, как они связаны со значением производной в этих точках?

15.Как построить график функции одного параметра? Как поставить точку на графике?

16.Опишите способ вычисления максимумов (минимумов) функции при помощи стандартной процедуры Given-Maximize и Given-Minimize. Как можно задать точность вычислений?

17.Что такое участок возрастания и убывания функции? Как они выглядят на графике, как их можно вычислить? Как эти участки связаны с поведением производной?

18.Как построить график прямой, параллельной оси Ох или оси Оу?

19.Как определить экстремумы функции по поведению производных?

20.Что такое экстремум функции? Как его находить?

21.Как может вести себя функция на бесконечности? Перечислить все случаи.

22.Что такое область определения функции? Что такое особые точки?

23.Описать поведение функции на границах области определения и на бесконечности.

24.Как установить, является ли функция чётной или нечётной. Дайте строгое определение.

25.Как определить, является ли функция периодической или нет. Определение.

26.Как найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

27.Как найти вертикальные асимптоты?

28.Как построить график производной функции. Как он будет соотноситься с графиком основной функции?

29.Опишите понятие предела функции в точке? На бесконечности?

30.Что такое перегибы функции? Как они вычисляются?

33

Глава 5. Алгоритмические возможности MathCAD

5.АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ MATHCAD

Система MathCAD обладает широкими возможностями для написания сложных алгоритмических конструкций. Алгоритмические команды (операторы) вызываются из окна Programming (Программирование) как на

Рис. 11 – Окно вызова алгоритмических команд (операторов)

Операторный блок Add Line. Вертикальная линия (оператор Add Line) объединяет отдельные операторы в операторный блок с одним входом и одним выходом, который выполняется как единый оператор. Увеличить количество операторов внутри операторного блока можно многократным нажатием на кнопку «Add Line». Внутри операторного блока операторы выполняются последовательно сверху вниз.

Оператор локального присваивания. Кнопка «←» – это оператор присвоения значения локальной переменной. Область видимости такой переменной ограничена операторным блоком, задаваемым при помощи Add Line. Локальность переменной подразумевает ее невидимость вне операторного блока (программы), что не допускает путаницы переменных из разных программ.

Оператор выбора. Шаблон if (если) позволяет вводить в программу альтернативу с одной ветвью, иначе говоря, оператор условного перехода.

Рис. 12 – Структура оператора if. Блок ввода логических команд

Суть условного перехода в проверке условия, которое записывается в позиции справа от оператора if. Если условие истинно, то однократно выполняется действие, записанное в позиции слева от оператора if, после чего выполнение оператора заканчивается. Если условие ложно, то выполнение оператора if заканчивается немедленно, без выполнения действия.

Условие может состоять из довольно сложной логической конструкции, построенной при помощи команд сравнения (=, , <, ≤, >, ≥) и логических команд

(NOT, OR, AND, XOR) – как на Рис. 12.

34

Профессиональные математические пакеты

Возможности оператора if можно существенно расширить при помощи оператора otherwise (иначе, в противном случае). Он позволяет реализовать конструкции с двумя исходами (см. Листинг 15, а): в случае истинности условия выполняется одно действие, а в случае его ложности – другое (расположенное перед оператором otherwise).

Листинг 15. Оператор if-otherwise и функция if( )

Можно также воспользоваться вместо оператора if функцией if( ) – как на Листинг 15, б. У встроенной функции if( ) первый аргумент – условие, второй – действие при истинном условии, а третий аргумент – действие при невыполнении условия (otherwise).

Операторы цикла. В MathCAD имеется два оператора циклического повторения

– оператор while и оператор for.

Рис. 13 – Структура операторов while и for

При выполнении оператора while (с предусловием) в первую очередь производится проверка условия, если оно истинно, то выполняется действие, после чего вновь проверяется условие и т.д. до тех пор, пока условие не станет ложным. Программист должен предусмотреть возможность выхода из цикла.

Оператор цикла for последовательно перебирает значения переменной-счетчика (слева от значка ) из множества допустимых значений (справа от символа ). Пока

переменная-счетчик принадлежит множеству допустимых значений, действие

повторяется, как только значение переменной выходит за границы множества, действие цикла заканчивается.

Программные блоки, описанные ниже (Листинг 16), вычисляют сумму N первых натуральных чисел. На примерах видно, что в операторе for изменение переменнойсчетчика i происходит автоматически (неявно) в диапазоне 1..N , в то время как для оператора while изменение переменной i приходится явно прописывать.

Листинг 16. Операторы цикла while и for

На примерах ниже (Листинг 17) иллюстрируются некоторые свойства оператора for. Оператор for автоматически определяет, в какую сторону необходимо изменять (уменьшать или увеличивать) переменную-счетчик.

Оператор for может перебирать значения переменной-счетчика из множества допустимых значений довольно разнородной структуры – числовой, символьной, матричной.

35