Материал: Kratn_2

Отсюда

Z x − y

, dl~

= 2, 5 + 12 − 14, 5 = 0.

x + y

I x − y

ZZ

∂x

−

∂y

ZZ

−

x + y , dl~ =

∂(x − y)

∂(x + y)

dS =

(1

1)dS = 0.

l+

xy2

Пример 3.10. Рассмотрим интеграл I yx2 , dl~ , где l+ – граница

верхнего полукруга x2 + y2 ≤ 4.

l+

Интеграл по верхней полуокружности найден в примере 3.6. Найдем

x = t,

при −2 ≤

интеграл по отрезку [−2; 2]. Введем параметризацию (y = 0

≤ t ≤ 2. Имеем:

2

Z yx2

, dl~ = Z 0 dt = 0.

xy2

Таким образом,

[−2;2]

−2

I yx2

, dl~ = 0.

xy2

l+

Используя теорему Грина, имеем

(2xy − 2xy)dS = 0.

I yx2

, dl~ =

ZZ

xy2

l+

полукруг

I xy2

Пример 3.11. Рассмотрим интеграл

−x2y

, dl~ по окружности

l+

x2 + y2 = 9, проходимой против часовой стрелки.

x = 3 cos t,

≤ t ≤ 2π. Имеем:

Рассмотрим параметризацию (y = 3 sin t

при 0

I xy2

−x2y

, dl~ =

2π

2 sin2 t cos2 t dt =

2

2π

sin2(2t)dt =

2

2π

−

2

dt =

= 81 Z0

Z0

Z0

81

81

1

cos 4t

= 4

t −

4

2π

=

2 .

0

81

sin 4t

81π

Вычислим интеграл используя теорему

Грина:

I xy2

ZZ

−x2y

, dl~

=

(y2 + x2)dS,

l+

D

где D – круг x2 + y2 ≤ 9. Имеем:

3

2π

ZZ (x2 + y2)dS = ZZ ρ2ρ dρ dϕ = Z dρ Z ρ3 dϕ =

D

D

0

0

3

πρ4

3

81π

= Z

2πρ3 dρ =

2

0 =

.

4

2

0

Упражнения.

y

3.18. Вычислить интеграл I −x , dl~ , где кривая l+ задана пара-

l+

x = cos3 t,

при 0 ≤ t ≤ 2π. Вычислить непосредственно и

метрически (y = sin3 t

применяя теорему Грина.

x2 + y

, dl~ по границе верхнего по-

3.19. Вычислить интеграл I x + y2

x2

, dl~ по окружности (x − 1)2+

3.21. Вычислить интеграл I y2

+(y − 1)2

l+

= 1, проходимой против часовой стрелки, используя теорему

Грина.

y3

, dl~ по окружности (x − 1)2+

3.22. Вычислить интеграл I x3

+(y − 1)2

l+

= 1, проходимой против часовой стрелки, используя теорему

~r = ~r(u, v) = [gx(u, v), gy(u, v), gz(u, v)]T , (u, v) D,

(4.1)

~r 0

×

~r

0

~

,

u

v

6= 0

=

∂g

∂g

∂g

T

∂g

∂g

∂g

T

где ~r u0

x

,

y

,

z

; ~r v0 =

x

,

y

,

z

– частные производные

∂u

∂u

∂u

∂v

∂v

∂v

функции ~r(u, v) по u и v соответственно.

которую будем обозначать |Σ|. Там же была получена формула

|Σ| = ZZ k~r u0

× ~r v0 kds.

(4.2)

D

Отметим случай, когда векторы ~r u0 и ~r v0 ортогональны, т. е. (~r u0

, ~r v0 ) = 0.

В этом случае (4.2) имеет вид

|Σ| = ZZ k~r u0

k k~r v0 kds.

D

~r(u, v) = [u cos v, u sin v, 4v]T ,

0 ≤ u ≤ 3,

0 ≤ v ≤ π.

В данном

случае

~r 0

=

[cos v, sin v, 0]T , ~r

0

=

[

−

u sin v, u cos v, 4],

(~r 0

2

= 1

u

0

2

= 16 + u

2

v

, ~r 0

) = 0 ~r 0

~r

. Поэтому

u

v

, k uk

, k

vk

3

3

π

|Σ| = ZZ 1

du dv = Z dv Z

du = π Z

16 + u2

16 + u2

16 + u2 du =

D

p

0 0

p

0

p

u

3

π

= π h

p16 + u2 + 8 ln

u + p16 + u2

i 0

=

(15 + 16 ln 2).

2

2

Остановимся подробнее на важном частном случае, когда поверхность

Тогда

~r = ~r(x, y) = [x, y, g(x, y)]T ,

(x, y) D.

T

T

∂g

∂g

~r u0

= ~r x0 = 1, 0,

; ~r v0

= ~r y0

= 0, 1,

;

∂x

∂y

~r u0 × ~r v0 = −∂x, −∂y, 1 ; k~r u0 × ~r v0 k = s

1 +

∂x

+

∂y .

∂g ∂g

∂g

2

2

T

∂g

Отсюда

|Σ| = ZZ s

1 +

∂x

2

+ ∂y

2

dx dy.

∂g

∂g

D

Пример

4.2. Найти

площадь

части

поверхности

параболоида

p

∂g−

y2

.

a

∂g

y

z = g(x, y) = 2ax

Имеем:

=

;

=2−

,

∂x

p

∂y

1 +

2

2ax − y22

p22ax − y2

2

∂x

+

∂y

= 1 + 2ax − y2

= 2ax − y2 .

∂g

∂g

a + y

2ax + a

√

a

2ax + a2 dx

ax

2ax y2

=

|Σ| = 4 ZZ s2ax y2 dx dy = 4 Z

Z

2ax + a2

dy

D

−

0

p

0

p

−

a

√

ax

= 4 Z

arcsin √2ax 0

! dx =

2ax + a2

0

p

y

a

= 4 Z

π

π

a

2ax + a2

dx =

(2ax + a2)3/2

0 =

4

3a

0

p

π

√

3

3

πa2

√

=

(3 3a

− a

) =

(3 3 − 1).

3a

3

Пример 4.3. Вычислить площадь поверхности сферы радиуса R.

Запишем уравнение сферы в параметрическом виде:

~r = ~r(ϕ, θ) = [R cos ϕ sin θ, R sin ϕ sin θ, R cos θ]T ,

Тогда

(ϕ, θ) D = {(ϕ, θ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π}.

~r ϕ0

= [−R sin ϕ sin θ, R cos ϕ sin θ, 0]T ;

~r θ0 = [R cos ϕ cos θ, R sin ϕ cos θ, −R sin θ]T ;

~r ϕ0 × ~r θ0 = [−R2 cos ϕ sin2 θ, −R2 sin ϕ sin2 θ, −R sin θ cos θ]T ;

k~r ϕ0

× ~r θ0 k = R2 sin θ;

2π

|Σ| = ZZ

k~r ϕ0 ×~r θ0 kdϕ dθ = ZZ

π

R2 sin θ dϕ dθ = R2

Z

dϕ Z

sin θ dθ = 4πR2.

D

D

0

0

Сформулируем теорему 4.1 из [1].

ZZ

f(P )dσ = ZZ f(gx(u, v), gy(u, v), gz(u, v))k~r u0 × ~r v0 kds,

Σ

D