Документ: Kratn_2, страницы 16-20 | База учебных материалов

ZZ

1.10.xy dS, где D – четверть окружности радиуса 2 с центром в

D

начале координат, лежащая в первой координатной четверти.

Ответы: 1.6. π(sin 1 − cos 1). 1.7. 32π. 1.8. 12 ln 12 − 16. 1.9. 7324.

1.10.2.

1.4.Применение двойного интеграла для вычисления площади и объема

ZZ

Как уже упоминалось в 1.3, dS = S(D), т. е. для нахождения пло-

D

щади некоторой области можно найти интеграл от 1 по этой области. Пример 1.10. Найти площадь области (рис. 1.8), ограниченной пря-

мыми x + y = −1, x + y = 1, x − y = −1, x − y = 1.

ZZ

Достаточно найти dS, где D ограничена этими прямыми:

											.
					D						.
	ZZ			0	x+1	1	−x+1				.
				0	x+1	1	−x+1				1
			dS =	Z	Z	Z	Z			..	0 1 .
			dS =	dx dy +		dx		dy =			.
				−1	−x−1		x−1			...
	D			−1	−x−1	0	x−1			−1	−. 1
		0	x+1		1	x+1					−. 1
	= Z		y y= x		1! dx + Z	y y=x 1! dx =				Рис. 1.8
				− −		−	−
		1		− −	0		−
	−
	0				1						1
= Z (2x + 2)dx + Z (−2x + 2)dx = (x2 + 2x) 0											1
= Z (2x + 2)dx + Z (−2x + 2)dx = (x2 + 2x) 0									1	+ (−x2 + 2x) 0 = 1 + 1 = 2.
−	1			0				−
−

Пример 1.11. Найти площадь области (рис. 1.9), ограниченной пара-

болой y = x2 и дугой окружности с центром в начале координат радиусом

√

2.

Найдем

..

√

11−x2

ZZZ Z

dS = dx

dy =

	1
................ .
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

..... . ....

	−1 x2	−	1
D		1

1

Z

= p1 − x2 − x2 dx = Рис. 1.9

−1

15

1		1
= Z	p		dx − Z	x2dx.
		1 − x2
−1			−1

Первый интеграл найдем, сделав замену переменной x = cos ϕ:

1

0

Z

dx = Z

p

1 − x2

1 − cos2 ϕ

(− sin ϕ)dϕ =

−1

π

p

π

= Z

sin2 ϕ dϕ = Z

1 −

2

dϕ =

2

=

2 .

− 4 sin 2ϕ 0

0

cos 2ϕ

ϕ

1

π

Отсюда

ZZ

3

1

dS = 2

= 2

− 3.

− 3

1

D

π

x

−

π

2

Двойной интеграл может

применяться

и для вычисления объема. Пусть

в IR3 введена декартова система координат 0xyz и заданы ограниченная замкнутая область D в плоскости 0xy и непрерывная функция f(P ), определенная на D. Предположим, что f(P ) ≥ 0 при P D. Множество точек, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению (как и раньше, f(x, y) ≡ f(P (x, y))) z = f(x, y), (x, y) D, является поверхностью в IR3

– графиком функции f.													Рассмотрим						трехмерную ци-
													Рассмотрим						трехмерную ци-
z. .					z = f(x, y)								линдрическую область (рис. 1.10)
z. .					z = f(x, y)
					. ..	.
						.	. ...							Ω = (x, y, z) : (x, y) D,
			.. . . .. . . .				. ...							Ω = (x, y, z) : (x, y) D,
				. . .	. ... . . .				.					{
				. . .		. ... .		.	.
			. . . .				.	.
		. . .					. . . ..
			. . .				.			.
			. . .				.		. . .
			. .						.
			. .				. . .							0	≤	z	≤	f(x, y)			}	,
			. .				.		. .						≤		≤				}
			. . .				.		. .
			. .							.
			. .				. . . .
			. .				. .
			. .				. . .						которая ограничена							снизу плоско-
			. .		Ω		. . .
			. .		Ω		.		. .
			. .				. . .
			. .				. .			.			стью	0xy, сверху					–	поверхностью
			. .							.
			. .				. . . .
			. .				.		. .			.
0	........ . ........ . .
0			. .				. . .					y
			. . . . .. .				.		. . .			y	z =	f(x, y)		и	сбоку – цилиндри-
			. .	.		.		. .					z =	f(x, y)		и	сбоку – цилиндри-
		.		. . . . .						.
		.		D.						.
		. .		D.						.	.		ческой поверхностью с образующей,
					.				.		.		ческой поверхностью с образующей,
									.
.		.		.				.
x .				.		.							параллельной 0z, и направляющей,
			. .			.							параллельной 0z, и направляющей,
				. . . .. .
					.								совпадающей с границей области D.
		Рис. 1.10											совпадающей с границей области D.
		Рис. 1.10											Пусть для областей указанного вида

определено понятие объема. Тогда объем области Ω можно вычислить как интеграл:

ZZ

V (Ω) = f(P )dS.

D

16

при x2 + y2 ≤ 1.	≤	z	≤ p
Пример 1.12. Найти объем области Ω, для которой 0		z	x2 + y2

ZZ

p

Имеем: V (Ω) = x2 + y2 dS, где D – единичный круг с центром

D

в начале координат. Переходя к полярной системе координат, получим

V (Ω) = ZZ	2π	1	2π	3 dϕ =	3 .
V (Ω) = ZZ	ρρ dρ dϕ = Z	dϕ Z	ρ2 dρ = Z	3 dϕ =	3 .
				1	2π
ρ≤1	0	0	0

Пример 1.13. Найти объем области Ω, для которой 0 ≤ z ≤ x + y, при x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1.

ZZ

Имеем: V (Ω) = (x+y)dS, где D ограничена x ≥ 1, y ≥ 0, x+y ≤ 1;

D

1

1−x

1

xy + y2

1

x

! dx =

V (Ω) = Z

dx Z (x + y)dy = Z

y=0

2

−

0

1

x2

x3

1

=

x

x2

+

(1 − x)2

dx =

(1 − x)3

0

=

1

.

−

3 −

Z

2

6

3

0

Упражнения.

1.11.Найти площадь области, ограниченной кривой y = x2 и прямой y = 2x + 1.

1.12.Найти площадь области, ограниченной окружностями x2+ y2 = 4

иx2 + (y − 1)2 = 4.

1.13.Найти объем области, для которой 0 ≤ z ≤ x2+ y2 при x2+ y2 ≤4.

1.14.Найти объем области, для которой 0 ≤ z ≤ x + y при (x − 1)2+

+(y − 1)2 ≤ 1.	√		√			√
8	2		15		3	15
Ответы: 1.11.		. 1.12. 4 arcsin		−			. 1.13. 8π. 1.14. 2π.
Ответы: 1.11.	3	. 1.12. 4 arcsin	4	−		4	. 1.13. 8π. 1.14. 2π.

1.5.Использование двойного интеграла для вычисления площади поверхности

Напомним определение площади поверхности. Пусть в IR3 заданы декартова система координат 0xyz и поверхность Σ = {(x, y, z) : (x, y)Dxy, z = f(x, y)}, где Dxy – ограниченная область с кусочно-гладкой границей на плоскости 0xy, а функция f(x, y) непрерывно дифференцируема на Dxy. Таким образом, Σ является частью графика функции f, лежащей над Dxy.

17

Рассмотрим разбиение {Di} области Dxy с рангом λ и возьмем точки Pi Di. Так как функция F дифференцируема, то поверхность Σ имеет в точке Pi касательную плоскость Πi. Цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной 0z, и направляющей, совпадающей с границей Di, “вырезает” на плоскости Πi некоторую область σi, площадь которой

обозначим σi.

n

X

Рассмотрим сумму σi. Эта сумма является площадью кусочно-

i=1

линейной поверхности Σ0, являющейся объединением рассмотренных частей плоскостей, касательных к Σ. Естественно считать рассматриваемую сумму приближением к площади поверхности Σ, поэтому разумно принять следующее определение.

Определение 1.2. Если существует предел

	n
	Xi
S = lim	σi,
λ→0	=1

то он называется площадью поверхности Σ.

Напомним формулы, позволяющие вычислять площадь поверхности:

S = ZZ s	∂f	2	+	∂f	2	(1.6)
					+ 1 dx dy.
	∂x			∂y

Dxy

Формула позволяет вычислять площадь поверхности Σ, являющейся графиком функции z = f(x, y). Такую поверхность любая прямая, параллельная оси 0x, пересекает не более одного раза. Если же поверхность Σ такова, что каждая прямая, параллельная оси 0y, пересекает ее не более одного раза, то Σ является частью графика функции y = g(x, z). В этом случае справедлива аналогичная (1.6) формула:

S = ZZ s	∂g	2	+	∂g	2	(1.7)
					+ 1 dx dz,
	∂x			∂z

Dxz

где Dxz – область в плоскости 0xz, являющаяся ортогональной проекцией Σ на эту плоскость.

Наконец, если Σ = {(x, y, z) : (x, z) Dyz, x = h(y, z)}, то

S = ZZ s	∂h	2	+	∂h	2	(1.8)
					+ 1 dy dz.
	∂y			∂z

Dyz

18

В общем случае поверхность Σ обычно возможно разбить на конечное число таких частей, для вычисления площадей которых можно применить одну из формул (1.6)–(1.8).

Рассмотрим теперь вопрос о вычислении площади поверхности Σ, заданной параметрически. Пусть параметрические уравнения поверхности Σ имеют вид:

	~r = ~r (ξ, η) = [x(ξ, η), y(ξ, η), z(ξ, η)]T , (ξ, η) Dξη.					(1.9)
Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле
		S = ZZ k~r ξ0	× ~r η0 kdξ dη.
		Dξη
Напомним как векторное произведение записывается в координатах:
если ~a =	ay ,	~b = by – векторы в IR , то ~a ~b =			azbx − axbz, .
	ax	bx	3		aybz − azby,
	az	bz		×	axby − aybx

ax

Символ k~ak обозначает длину вектора, т. е. для ~a = ay имеем k~ak = az

q

=a2x + a2y + a2z .

Пример 1.14. Найти площадь поверхности цилиндра z2 = x3, 0 ≤ x ≤

≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}, z = ±√

Здесь Dxy = {(x, y) :

x3

. Будем рас-

сматривать f(x, y) =

√

и умножим интеграл на 2, что из соображений

x3

симметричности дает требуемую площадь поверхности:

2

1

S = 2 ZZ s 2

√x

+ 02 + 1 dx dy = 2 Z0

dy Z0

r4 x + 1 dx =

3

2

9

Dxy

! x=0 dy = 2 Z

− 1!! dy =

3 4 x + 1

= 2 Z 9 ·

27

8

2

3/2

1

2

√

4

2

9

0

8

13

0

! y

2

=

27− .

27 − 27

0 =

26√13

8

52√13

16

Пример 1.15. Найти площадь поверхности верхней полусферы, за-

p

данной уравнением z = 1 − x2 − y2 при x2 + y2 ≤ 1.

19

Материал: Kratn_2

Смотрите также: