Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

ции).

7.Напишите формулу скалярного произведения векторов x

иy через их координаты в ортонормированном базисе

евклидова (унитарного) пространства.

8.Как выражается норма (длина) произвольного вектора через его координаты в ортонормированном базисе евклидова (унитарного) пространства.

9. Пусть x = 2e1 +3e2 −3e3 , y = e1 −2e3 и базис e1, e2 , e3 - ортонормированный. Вычислите скалярное произведение (x, y) и длины векторов || x || и || y ||.

10. Выясните, какой из данных базисов является ортонор-

12. Найдите ортонормированный базис линейной оболочки векторов a1 = (2,1,3, −1) , a2 = (7, 4,3, −3) , a3 = (1,1, −6,0) ,

a4 = (5,7,7,8) .

13. Найдите какой-нибудь ортонормированный базис в каждом из следующих подпространств евклидова про-

3.6. Матрица Грама системы векторов

Рассмотрим произвольную конечную систему векторов f1, f2 ,..., fn . Вычислим всевозможные скалярные произведе-

ния ( fi , f j ) и из этих чисел составим матрицу.

Определение. Матрицей Грама системы векторов f1, f2 ,..., fn евклидова или унитарного пространства называ-

ется матрица вида

Из аксиом скалярного произведения вытекают следующие свойства.

1)Все элементы главной диагонали матрицы Грама неотрицательны, т.е. ( fi , fi ) ≥ 0 i .

2)В евклидовом пространстве матрица Грама - сим-

метричная, так как ( fi , f j ) = ( f j , fi ) . В унитарном простран-

стве элементы матрицы связаны соотношением

( fi , f j ) = ( f j , fi ) , тогда G = GT .

3) Система векторов f1, f2 ,..., fn ортогональна тогда и только тогда, когда G - диагональная матрица.

4) Система векторов f1, f2 ,..., fn является ортонорми-

рованной тогда и только тогда, когда матрица Грама является единичной матрицей, т.е. G = E .

Теорема 34. Система векторов f1, f2 ,..., fn евклидова

или унитарного пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель матрицы Грама равен нулю.

α1 f1 +α2 f2 +... +αn fn =θ .

Обе части этого равенства умножим скалярно на fi ( i =1, n ), получим

( fi ,α1 f1 +α2 f2 +... +αn fn ) = 0 , i =1, n .

Отсюда в силу аксиом скалярного произведения имеем: ( fi ,α1 f1) +( fi ,α2 f2 ) +... +( fi ,αn fn ) = 0 ,

α1( fi , f1) +α2 ( fi , f2 ) +... +αn ( fi , fn ) = 0 ,

причем в этой линейной комбинации есть хотя бы один коэффициент, отличный от нуля. Следовательно, столбцы матрицы Грама линейно зависимы, откуда получаем, что

| G |= 0 .

2) Проведем доказательство в обратную сторону. Пусть определитель матрицы Грама равен нулю. Тогда столбцы матрицы линейно зависимы, т.е. существуют числа α1,α2 ,...,αn , не все равные нулю и такие, что

Запишем векторное равенство (20) покоординатно:

α1( fi , f1) +α2 ( fi , f2 ) +... +αn ( fi , fn ) = 0 , i =1, n .

Коэффициенты α1,α2 ,...,αn внесем во вторые сомножители скалярных произведений, получим

( fi ,α1 f1) +( fi ,α2 f2 ) +... +( fi ,αn fn ) = 0 , i =1, n ;

или

α1, α2 , ... , αn , а затем сложим их. Получим

(α1 f1 +α2 f2 +... +αn fn , α1 f1 +α2 f2 +... +αn fn ) = 0 .

Имеем скалярное произведение двух одинаковых векторов, равное нулю. Следовательно, в силу аксиомы 4 скалярного произведения получим

α1 f1 +α2 f2 +... +αn fn =θ ,

причем среди коэффициентов этой линейной комбинации есть ненулевые, а значит векторы f1, f2 ,..., fn линейно зави-

симы. ■

Следствие. Система векторов f1, f2 ,..., fn линейно

независима тогда и только тогда, когда определитель матрицы Грама этой системы векторов отличен от нуля.

Пример 49. С помощью матрицы Грама выясним, является ли система векторов f1 = (1, 2,0,0) , f2 = (2, 2,3, 4) ,

f3 = (3,6,0,0) линейно зависимой.

Составим матрицу Грама данной системы векторов, она будет симметрична относительно главной диагонали. Вычислим сначала необходимые скалярные произведения:

Тогда матрица Грама имеет вид:

Замечаем, что первая и третья строки матрицы пропорциональны, следовательно | G |= 0 . Откуда заключаем, что век-

торы f1, f2 , f3 - линейно зависимы.

3.7.Выражение скалярного произведения векторов через матрицу Грама

Матрица Грама позволяет дать описание различных способов задания скалярного произведения на конечномерном пространстве.

Пусть E - евклидово пространство и f1, f2 ,..., fn - некоторый базис в E . Пусть x , y - два произвольных вектора, принадлежащих E . Разложим их по базису:

Рассмотрим скалярное произведение векторов x и y :

(x, y) = (x1 f1 + x2 f2 +... + xn fn , y1 f1 + y2 f2 +... + yn fn ) =

Откуда в силу аксиом скалярного произведения получаем

Обозначим через gik = ( fi , fk ) . Элементы gik образуют матрицу G = (gik ) - это матрица Грама системы векторов f1, f2 ,..., fn . Тогда последнее равенство можно записать в матричном виде следующим образом:

(x, y) = X T GY ,

y1

где X T = (x1,..., xn ) , Y = .

yn

Если x , y - векторы унитарного пространства, то формула примет вид:

(x, y) = X T GY ,

где черта над Y означает взятие комплексного сопряжения. Полученные формулы для (x, y) можно использовать

для задания скалярного произведения векторов.

Так, например, если базис f1, f2 ,..., fn - ортонормированный, то матрица Грама - единичная ( G = E ) и

(x, y) = X T EY = X TY = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn ,

это каноническое скалярное произведение.

Если же базис ортогональный, но не нормированный, то матрица Грама будет диагональной

Тогда (x, y) = X T GY =α1x1y1 +α2 x2 y2 +... +αn xn yn .

Вобщем случае, скалярное произведение можно задать

спомощью формулы (x, y) = X T GY , где G - некоторая

симметричная матрица, элементы главной диагонали которой положительны.

Пример 50. Пусть

Тогда формула

(x, y) = X T GY = x1y1 − x1y2 − x2 y1 +2x2 y2 − x2 y3 − x3 y2 +

+2x3 y3 − x3 y4 − x4 y3 +2x4 y4

задает скалярное произведение в пространстве 4 . (Докажите, что выполнены все аксиомы скалярного произведения)

3.8.Ортогональное дополнение к подпространству

Пусть E - евклидово или унитарное пространство и L - его подпространство.

Определение. Ортогональным дополнением к подпро-

странству L называется множество всех векторов пространства E , которые ортогональны каждому вектору из L .

Обозначение: L . Итак, по определению

L ={x E : (x, y) = 0 y L}.

Теорема 35. Ортогональное дополнение L является подпространством.

Доказательство. Покажем, что для любых u, v L верно u +v L и λu L

1) Пусть векторы u, v L . Тогда для любого y L верно (u, y) = 0 и (v, y) = 0 , значит

(u +v, y) = (u, y) +(v, y) = 0 .

Следовательно, вектор u +v L .

2) Для любого числа λ ( ) и произвольного вектора u L имеем:

(λu, y) = λ(u, y) = λ 0 = 0 ,

значит вектор λu L .

Из 1), 2) вытекает, что L есть подпространство. ■

Следующая теорема показывает, почему L называют ортогональным дополнением.

Теорема 36. Пусть E - евклидово или унитарное пространство, L - его подпространство. Тогда пространство E может быть разложено в прямую сумму подпростран-

ства L и его ортогонального дополнения L , т.е. E = L L .

Доказательство. Покажем сначала, что подпростран-

ства L и L в сумме дают все пространство E . Выберем в L какой-либо ортонормированный базис e1,..., ek , и допол-

ним его до ортонормированного базиса всего пространства

E :

e1,..., ek , ek+1,..., en .

Отметим, что векторы ek+1,..., en принадлежат L , так как они ортогональны каждому вектору из набора e1,..., ek . Тогда

z = xk+1ek+1 +... + xnen . Причем вектор y L , так как он раз-

вольно, то E = L + L .

Покажем теперь, что сумма L + L подпространств L и L - прямая. Пусть x L ∩L , т.е. x L и x L . Тогда в силу определения ортогонального дополнения имеем x x , или (x, x) = 0 . Отсюда вытекает (в силу аксиомы 4 скалярно-

го произведения), что x =θ . Таким образом, L ∩L ={θ}. Следовательно, сумма подпространств L и L - прямая. ■

ортогональной проекцией вектора x на подпространство L ,

а вектор z - ортогональной составляющей вектора x .

Приведем примеры ортогональных дополнений.

Пример 51. В двумерном евклидовом пространстве 2 подпространство L = Ox имеет ортогональное дополнение

L = Oy .

Пример 52. В трехмерном евклидовом пространстве 3 одномерное подпространство L = Ox имеет двумерное ортогональное дополнение L = Oyz .

Пример 53. Рассмотрим систему линейных однородных уравнений AX = O , или

a11x1 +a12 x2 +... +a1n xn = 0,

a21x1 +a22 x2 +... +a2n xn = 0,

am1x1 +am2 x2 +... +amn xn = 0,

или в векторной форме записи

(a1, X ) = 0 , (a2 , X ) = 0 ,

(am , X ) = 0 ,

где через a1, a2 ,..., am обозначены строки матрицы A , т.е.