Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

Контрольные вопросы и задания к п. 3.4

1.Какое неравенство называется неравенством КошиБуняковского?

2.Докажите теорему Пифагора и неравенство треугольника в евклидовом пространстве.

3.Докажите, что в вещественном евклидовом пространстве неравенством Коши-Буняковского переходит в равенство

| (x, y) |=|| x || || y || тогда и только тогда, когда векторы x и

yлинейно зависимы.

4.Запишите выражение для нормы (длины) вектора и нера-

венство Коши-Буняковского в пространствах Rn и

C[a,b] .

3.5.Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Определение. Базис e1, e2 ,..., en евклидова или унитар-

i=1

зис имеет вид:

e1 = (1,0,0,...,0) ,

e2 = (0,1,0,...,0) ,

…

en = (0,0,0,...,1) .

Покажем, что в любом пространстве со скалярным произведением имеется ортонормированный базис. Предварительно докажем следующее утверждение.

Теорема 32. Любая система попарно ортогональных векторов, не содержащая нулевого вектора, линейно независима.

Доказательство. Пусть векторы e1, e2 ,..., ek попарно ортогональны и отличны от нуля, т.е. (ei , e j ) = 0 при i ≠ j и

(ei , ei ) ≠ 0 i =1, k . Докажем, что такая система векторов линейно независима. Для этого покажем, что из равенства

следует равенство нулю всех коэффициентов αi . Умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор e1, полу-

чим

(α1e1 +α2e2 +... +αk ek , e1) =

=α1(e1, e1) +α2 (e2 , e1) +... +αk (ek , e1) = 0 .

Откуда в силу условий (ei , e j ) = 0 при i ≠ j вытекает, что

α1(e1, e1) = 0 , где (e1, e1) ≠ 0 . Следовательно, α1 = 0 . Аналогично, умножая скалярно обе части равенства

(19) на векторы e2 ,..., ek , получим α2 = 0 , … , αk = 0 . Таким образом, из (19) вытекает, что все коэффициенты αi = 0 , а значит система векторов e1, e2 ,..., ek линейно независима. ■

Следующая теорема дает удобный способ построения ортонормированного базиса.

Теорема 33. В любом конечномерном евклидовом или унитарном пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть L - пространство со скалярным произведением (евклидово или унитарное), dim L = n . Пусть g1, g2 ,..., gn - какой-либо базис пространства L . По-

строим сначала ортогональный базис f1, f2 ,..., fn , а затем

векторы этого базиса пронормируем.

Векторы f1, f2 ,..., fn будем строить последовательно, конструируя каждый вектор fk в виде линейной комбинации уже построенных векторов gk , f1,..., fk−1 .

Аналогично, из равенства ( f3, f2 ) = 0 получаем

α2 = − (g3, f2 ) . ( f2 , f2 )

И так далее.

Таким образом, каждый вектор fk ( k ≥ 2 ) ищем в виде

fk = gk +α1 f1 +α2 f2 +... +αk−1 fk−1 ,

где коэффициенты α1,α2 ,...,αk−1 подбираются так, чтобы вектор fk был ортогонален ко всем уже построенным векторам f1, f2 ,..., fk−1. Для этого должны выполняться равенства

( fk , fi ) = (gk , fi ) +αi ( fi , fi ) = 0 , i =1, k −1,

откуда находим

αi = − ((gfk,, ffi)) .

ii

Здесь знаменатель ( fi , fi ) отличен от нуля, так как все векторы fi ( i =1, k −1) по построению ненулевые. Кроме того, так как векторы g1, g2 ,..., gk линейно независимы, то полученный вектор fk будет ненулевым.

В результате (через n шагов) будет построена система из n попарно ортогональных векторов f1, f2 ,..., fn . В силу

теоремы 32 эти векторы линейно независимы, и поэтому образуют базис (ортогональный). Каждый из векторов fi по-

делим на его длину, получим ортонормированный базис, образованный векторами

Замечание. Легко видеть, что если первые k векторов g1, g2 ,..., gk были попарно ортогональны, то f1 = g1 , f2 = g2 ,

… , fk = gk . Если, кроме того, они были единичными, то e1 = g1 , e2 = g2 , … , ek = gk .

Способ построения ортогональной системы векторов, описанный в теореме, называется процессом ортогонализа-

ции Грама-Шмидта.

Пусть e1, e2 ,..., en - ортонормированный базис пространства. Пусть вектор x имеет в этом базисе координаты

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen , y = y1e1 + y2e2 +... + ynen .

Тогда формула

n

(x, y) = x1y1 + x2 y2 +... + xn yn = ∑xi yi

i=1

есть выражение скалярного произведения в ортонормированном базисе; в частности

n

x = (x, x) = ∑xi2 .

i=1

Умножив обе части равенства x = x1e1 +... + xnen скалярно на ei ( i =1, n ), получим явное выражение для координат вектора x в этом базисе. А именно,

xi = (x, ei ) i =1, n .

Таким образом, свойства произвольного ортонормированного базиса евклидова (унитарного) пространства анало-

гичны свойствам декартова прямоугольного базиса i , j , k .

Пример 47. Найдем ортогональный базис для про-

Проверим сначала, будут ли векторы g1, g2 , g3 линейно

независимы. Для этого составим матрицу, строками которой являются координаты векторов g1, g2 , g3 , и вычислим ее

ранг. Имеем:

Таким образом, ранг исходной матрицы равен 3, следовательно, ее строки g1, g2 , g3 - линейно независимы и образу-

ют базис пространства, порожденного векторами g1, g2 , g3 .

Применим теперь процесс ортогонализации к базисным векторам g1, g2 , g3 , и построим новый ортогональный базис

f1, f2 , f3 .

Положим f1 = g1 = (1,1,1,1) .

Вектор f2 ищем в виде

f2 = g2 +α f1 ,

где число α определяется из условия ( f2 , f1) = 0 , откуда на-

ходим α = − (g2 , f1) . Вычислим (g2 , f1) и ( f1, f1) : ( f1, f1)

(g2 , f1) =1 1+2 1+1 1+2 1 = 6 , ( f1, f1) =1+1+1+1 = 4 .

Тогда α = −6 4 = −3 2 . Следовательно,

Проведем необходимые вычисления: (g3, f1) =1 1+0 1+0 1+0 1 =1,

(g3, f2 ) =1 (−1 2) +0 (1 2) +0 (−1 2) +0 (1 2) = −1 2 ,

( f2 , f2 ) = (−1 2)2 +(1 2)2 +(−1 2)2 +(1 2)2 =1.

Тогда α1 = − 14 , α2 = 12 . Следовательно,

f3 = g3 − 14 f1 + 12 f2 = (12 ,0, − 12 ,0) .

Итак, ортогональный базис построен. Он образован векторами

Для построения ортонормированного базиса надо каждый из полученных векторов поделить на его длину.

Пример 48. В пространстве C[−1,1] функций, непрерывных на отрезке [−1,1], со скалярным произведением

1

( f , g) = ∫ f (t)g(t)dt

−1

ортогонализируем систему векторов-функций

Найдем f2 (t) . Проведем необходимые вычисления:

Тогда α = 0 и f2 (t) = g2 (t) +0 f1(t) = t .

Теперь найдем f3 (t) . Предварительно вычислим необходимые скалярные произведения:

Таким образом, искомая система ортогональных векторов построена. Она имеет вид:

Контрольные вопросы и задания к п. 3.5

1.Какие векторы евклидова пространства называются ортогональными?

2.В пространстве C[0,1] скалярное произведение функций

f (x) и g(x) задано формулой

1

( f , g) = ∫ f (x)g(x)dx .

торы αx и β y также ортогональны при любых числах

αи β .

4.Докажите, что если ненулевые векторы x и y евклидова

пространства ортогональны, то они линейно независимы. Верно ли обратное утверждение?

5.Что такое ортогональный базис? Что такое ортонормированный базис? Приведите примеры ортонормированных базисов.

6.Опишите процесс построения ортонормированного базиса на основе произвольного базиса (процесс ортогонализа-