Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

1.8. Изоморфизм линейных пространств

Введем новое понятие - изоморфизм линейных пространств.

Рассмотрим множество всех линейных пространств, заданных над одним и тем же полем P . Естественно спросить, чем же похожи и чем различаются между собой все эти пространства? Каждое линейное пространство в своем описании содержит две части. Во-первых, линейное пространство есть совокупность конкретных объектов, называемых векторами. Во-вторых, над этими конкретными объектами определены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, и эти операции обладают определенными свойствами. Природа векторов нас интересовала лишь при введении операций и установлении их свойств. Дальнейшее исследование линейных пространств опиралось лишь на свойства операций. Пространства, обладающие одинаковыми свойствами (размерность, базис и т.д.), называют изоморфными. Отвлекаясь от природы векторов, изоморфные пространства можно рассматривать как одно и то же пространство. Перейдем к строгим определениям.

Определение. Линейные пространства L и M , заданные над одним и тем же полем скаляров P , называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение ϕ : L → M такое, что

ϕ : L → M называют изоморфизмом линейных пространств.

Свойства изоморфизма.

1)L L , т.е. всякое линейное пространство изоморфно

ссобой.

2)Если L M , а M K , то L K (транзитивность).

3)Если L M , то M L (симметричность).

4)При изоморфизме нулевому вектору одного пространства соответствует нулевой вектор другого:

ϕ(θL ) =θM .

Доказательство. Пусть ϕ : L → M - изоморфизм. В си-

ϕ(θL ) =θM . ■

5)При изоморфизме образом линейно независимой совокупности векторов будет также линейно независимая совокупность, а значит базис одного пространства отображается в базис другого пространства.

Укажем на одно принципиальное значение координат векторов для теории линейных пространств и ее приложений.

Теорема 9. Любое n -мерное линейное пространство над полем P изоморфно арифметическому пространству

Pn .

Доказательство. Пусть L - конечномерное линейное пространство над полем P , dim L = n . Зафиксируем в L ка- кой-нибудь базис e : e1, e2 ,..., en . Тогда любой вектор x L

можно разложить по этому базису:

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen ,

где координаты xi P .

а значит

Итак, отображение ϕ удовлетворяет условиям ϕ(x + y) =ϕ(x) +ϕ( y) и ϕ(λx) = λϕ(x) . Следовательно, ϕ

является изоморфизмом линейных пространств L и Pn , поэтому L Pn . ■

Непосредственно из теоремы 9 следует критерий изоморфизма пространств.

Теорема 10. Конечномерные линейные пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.

Подчеркнем, что теорема 9 сводит изучение любых конечномерных линейных пространств к изучению арифметических пространств.

Пример 25. Рассмотрим два вещественных линейных

вительными элементами. Размерность каждого из этих пространств равна 4; следовательно, в силу теоремы 9 каждое из

них изоморфно арифметическому пространству 4 :

Поэтому и многочлены, и матрицы можно рассматривать как

(1, 2, 3, 4) ; в каноническом базисе пространства M2×2 ( )

тересоваться конкретной природой векторов, образующих P[t](3) и M2×2 ( ) , то эти пространства можно не различать

и рассматривать как одно и то же арифметическое пространство 4 .

Контрольные вопросы и задания к п. 1.8

1.Какие линейные пространства называются изоморфными?

2.Может ли образом нулевого вектора быть ненулевой вектор?

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Предметом исследования многих математических дисциплин является изучение отображений множеств. Так, в математическом анализе изучают, например, действительные функции одной или нескольких переменных, т.е. отображе-

ния → или n → . В аналитической геометрии рассматривают переход от одной системы координат на плоскости или в пространстве к другой, т.е. отображения D2 → D2

или D3 → D3 . В алгебре изучают множества с операциями, а

внутренняя бинарная операция на множестве G - это отображение G ×G →G .

В этом параграфе мы рассмотрим важный класс отображений векторных пространств – это линейные отображения. Наиболее подробно будут изучены линейные отображения данного векторного пространства в себя – это линейные операторы.

2.1. Понятие линейного оператора

Пусть L и K - два линейных пространства над одним и тем же полем скаляров P .

Определение. Отображение A : L → K называется линейным отображением, если выполнены следующие условия:

A : L → L называют линейным оператором, действующим в пространстве L .

Замечание. Из определения вытекает:

1) Свойство аддитивности означает, что линейное отображение A является гомоморфизмом абелевых групп

(L, +) и (K, +) .

2) Из свойства однородности следует, что

A(θL ) = A(0 x) = 0 Ax =θK ,

т.е. линейное отображение нулевой вектор пространства L переводит в нулевой вектор пространства K .

3) Требование, чтобы линейные пространства L и K рассматривались над одним и тем же полем P , связано с корректностью формулировки свойства однородности.

В соответствии с определением равенства отображений введем определение равных операторов.

Определение. Операторы A и B называются равными, если

Ax = Bx x L .

Обозначение: A = B . Рассмотрим несколько примеров.

Пример 26. Пусть L - линейное пространство над полем P . Зафиксируем скаляр α P и зададим оператор A : L → L следующим образом:

Ax =αx ,

т.е. каждому вектору x L поставим в соответствие вектор αx L . Построенный таким образом оператор A будет линейным. Действительно:

1) A(x + y) =α(x + y) =αx +α y = Ax + Ay x, y L ;

2) A(λx) =α(λx) = (λα)x = λ(αx) = λAx x L , λ P .

Пример 27. Рассмотрим оператор A : L → L такой, что Ax = x +u , где u - фиксированный вектор пространства L . Проверим, будет ли A линейным оператором. Для любых x, y L имеем:

A(x + y) = (x + y) +u ,

Ax + Ay = (x +u) +( y +u) = (x + y) +2u .

Откуда получаем, что A(x + y) ≠ Ax + Ay , а значит, данный оператор A не является линейным.

Пример 28. Пусть L = L1 L2 , т.е. любой вектор x L однозначно представим в виде x = x1 + x2 , где x1 L1, x2 L2 . Отображение A : L → L , определенное правилом

Ax = x1 ,

является линейным оператором и называется оператором проектирования пространства L на подпространство L1 .

Пример 29. Отображение O : L → K , которое каждый вектор x L переводит в нулевой вектор θ пространства K ,

называется нулевым оператором, т.е.

Ox =θ x L .

Нулевой оператор является линейным отображением. (Докажите!)

Пример 30. Отображение I : L → L , которое каждому вектору x L ставит в соответствие этот же вектор, называ-

ется единичным оператором, т.е.

Ix = x x L .

В силу примера 26 единичный оператор является линейным (он получается при α =1 ).

Верно и обратное: если задана квадратная матрица, то ей соответствует в некотором базисе линейный оператор.

Пример 31. Для нулевого оператора O в любом базисе e1, e2 ,..., en имеем:

Oe j =θ = 0e1 +0e2 +... +0en , j =1, n .

Следовательно, матрица такого оператора - это нулевая матрица.

Пример 32. Для единичного оператора I имеем:

Ie j = e j = 0e1 +... +0e j−1 +1e j +0e j+1 +... +0en , j =1, n .

Записывая коэффициенты полученных разложений столбцами, получим единичную матрицу E .

A на базисных векторах e1 = (1, 0,0) , e2 = (0,1, 0) , e3 = (0, 0,1) .

Имеем:

Ae1 = (1,3,1) ,

Ae2 = (2,0,0) ,

Ae3 = (0,0, −1) .

Следовательно, матрица оператора A имеет вид: