Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

ek+1,..., en - базис подпространства L2 .

Тогда объединение этих базисов образует базис во всем пространстве L , так как L = L1 L2 и dim L = dim L1 +dim L2 .

Найдем матрицу оператора A в этом базисе. В силу инвариантности подпространств L1 и L2 имеем:

пространстве L1 , A2 - матрица оператора A в подпространстве L2 . ■

Верно и обратное утверждение: если матрица оператора A в некотором базисе имеет клеточно-диагональный вид, то пространство L распадается в прямую сумму инвариантных относительно A подпространств L1 и L2 .

Определение. Матрица вида (13) называется полураспавшейся, а матрица вида (14) - распавшейся на клетки A1 и

A2 . Произвольная квадратная матрица называется приводи-

мой или разложимой, если она подобна соответственно полураспавшейся или распавшейся матрице.

Изучение многих свойств линейного оператора с полураспавшейся или распавшейся матрицей облегчается тем, что сводится к изучению пространств меньших размерностей.

Примером может служить следующее утверждение.

Отсюда в силу одного из свойств определителей (см. теорему Лапласа, п.2.6 части 1 настоящего пособия) получаем:

χU (λ) =| A −λE | | C −λE |= χA (λ) χC (λ) . ■

2.8.Аннулирующий и минимальный многочлены линейного оператора

Введем понятие многочлена от оператора.

f (x) = an xn +an−1xn−1 +... +a0 - многочлен с коэффициентами ai P . Оператор вида

f (A) = an An +an−1An−1 +... +a0I

называется многочленом от оператора A .

Дадим определение аннулирующего многочлена. Определение. Многочлен f (x) P[x] называется ан-

нулирующим многочленом оператора A , если f ( A) = O .

Заметим, что правая часть равенства f (A) = O - это ну-

левой оператор, т.е. такой, что Ox =θ x L .

У каждого линейного оператора есть ненулевой аннулирующий многочлен. Это, например, его характеристический многочлен χA (λ) =| A −λE | . Этот факт вытекает из

следующей теоремы.

Теорема 26 (Гамильтона-Кэли). Любой линейный опе-

ратор является корнем своего характеристического многочлена, т.е. χA ( A) = O .

Заметим, что для одного и того же оператора можно построить несколько аннулирующих многочленов. Действиительно, если f (x) - аннулирующий многочлен, то всякий

многочлен вида f (x)g(x) g(x) P[x] также будет аннулирующим, так как

f (A)g( A) = O g(A) = O .

Введем понятие минимального многочлена. Определение. Аннулирующий многочлен наименьшей

степени со старшим коэффициентом, равным единице, назы-

вается минимальным многочленом оператора.

Обозначение: mA (x) .

Теорема 27. Минимальный многочлен для любого оператора единственный.

Доказательство. Предположим, что m1(x) и m2 (x) -

два минимальных многочлена оператора A . Тогда разность m1(x) −m2 (x) является аннулирующим многочленом опера-

тора A , так как

m1( A) −m2 ( A) = O −O = O .

Причем по условию deg m1(x) =deg m2(x), а значит deg(m1(x) −m2(x)) <degm1(x) . Но это невозможно, так как m1(x) - аннулирующий многочлен наименьшей степени. Следовательно, m1(x) −m2 (x) = 0 (нулевой многочлен), от-

куда m1(x) = m2 (x) . ■

Теорема 28. Минимальный многочлен является делителем аннулирующего многочлена.

Доказательство. Пусть f (x) и m(x) - аннулирующий

и минимальный многочлены для оператора A . Разделим с остатком f (x) на m(x) :

f (x) = m(x)q(x) +r(x) , deg r(x) < deg m(x) .

Тогда

r(A) = f (A) −m(A)q(A) = O −O q(A) = O ,

значит r(x) - аннулирующий многочлен оператора A , причем его степень deg r(x) < deg m(x) . Но m(x) - аннулирую-

щий многочлен наименьшей степени. Следовательно, случай r(x) ≠ 0 невозможен.

Таким образом, r(x) = 0 , тогда f (x) = m(x)q(x) , и m(x) - делитель f (x) . ■

Укажем формулу для построения минимального многочлена.

Рассмотрим характеристический многочлен | A −λE | оператора A и его минимальный многочлен mA (x) . Эти два многочлена связаны следующим соотношением:

Укажем одно из приложений минимальных многочле-

нов.

Теорема 29. Матрица A Mn×n (P) приводима (т.е.

подобна полураспавшейся матрице) тогда и только тогда, когда ее минимальный многочлен приводим над полем P .

Пример 41. Построим минимальный многочлен линейного оператора, имеющего матрицу

взаимно простые, поэтому их наибольший общий делитель равен 1. Следовательно, ∆2 =1 и

ϕ(λ) = (−1)3 | A −λE | =| A −λE |= (λ −1)(λ −2)(λ +1) ,

∆2

т.е. минимальный многочлен ϕ(λ) совпадает с характеристическим многочленом с точностью до знака.

§ 3. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

При изучении векторов плоскости и пространства в аналитической геометрии важную роль играло понятие скалярного произведения векторов

(a,b) =| a | | b | cos(a,b) .

В произвольном линейном пространстве мы не можем таким образом определить скалярное произведение, поскольку у нас нет пока понятий длины вектора и угла между векторами. Попытаемся в общем случае определить скалярное произведение аксиоматически, взяв за основу известные свойства скалярного произведения векторов плоскости.

3.1.Евклидово пространство. Основные свойства, примеры

Пусть L - вещественное линейное пространство. Определение. Говорят, что в вещественном линейном

пространстве L задана операция скалярного произведения, если каждой паре векторов x, y L поставлено в соответст-

вие вещественное число (x, y) так, что выполнены следую-

щие аксиомы:

1) (x, y) = ( y, x) симметричность;

(положительная определенность).

Число (x, y) называется скалярным произведением векторов x и y , аксиомы 1 - 4 называются аксиомами ска-

лярного произведения.

Определение. Вещественное линейное пространство с заданным на нем скалярным произведением, называется евклидовым пространством.

В дальнейшем евклидово пространство будем обозначать E .

Замечание. Из аксиом 1 - 3 скалярного произведения вытекает аддитивность и однородность по второму аргументу. Действительно:

i=1

Покажем это. Проверим аксиомы 1 - 4 скалярного произведения.

1) Докажем симметричность. Имеем:

( y, x) = y1x1 + y2 x2 +... + yn xn .

Так как xi , yi , то yi xi = xi yi , поэтому

( y, x) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn = (x, y) .

2) Докажем аддитивность. Для вектора x + y = (x1 + y1, x2 + y2 ,..., xn + yn ) имеем:

(x + y, z) = (x1 + y1)z1 +(x2 + y2 )z2 +... +(xn + yn )zn =

=(x1z1 + y1z1) +(x2 z2 + y2 z2 ) +...+(xn zn + yn zn ) =

=(x1z1 + x2z2 +...+ xnzn ) +(y1z1 + y2z2 +...+ ynzn ) =(x, z) +(y, z) .

(λx, y) = (λx1) y1 +(λx2 ) y2 +... +(λxn ) yn =

=λ(x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn ) = λ(x, y) .

4)Проверим свойство положительной определенности.

Имеем:

Кроме того, равенство x12 + x22 +... + xn2 = 0 выполняется тогда

(x, x) = 0 x =θ .

Таким образом, все аксиомы скалярного произведения выполнены, а значит равенство (15) действительно задает

операцию скалярного произведения векторов x, y n .

В дальнейшем скалярное произведение, определенное формулой (15), будем называть каноническим.

Пример 43. В том же (см. пример 42) линейном про-

странстве L = n скалярное произведение можно определить по-другому.

Пусть α1,α2 ,...,αn - положительные действительные

числа. Тогда скалярное произведение можно задать формулой:

(Докажите!)

Пример 44. В пространстве L = n предложим еще одну формулу для скалярного произведения. Для векторов

Докажите, что аксиомы 1 - 4 скалярного произведения будут выполнены.

Таким образом, линейное пространство L = n можно превратить в различные евклидовы пространства, определяя по-разному операцию скалярного произведения векторов, например, формулами (15), (16) или (17), или как-то иначе.

Пример 45. Пусть L = C[a,b] - пространство функций, непрерывных на отрезке [a,b] . Скалярное произведение век- торов-функций можно задать формулой

a

Действительно, в силу свойств определенного интеграла имеем:

b b

1) ( f , g) = ∫ f (t)g(t)dt = ∫g(t) f (t)dt = (g, f ) .

a a