Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

Контрольные вопросы и задания к п. 2.4

1.Как преобразуется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому?

базисе u : u1,u2 , если известно, что u1 = e1 +e2 , u2 = e1 −e2 .

2.5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Пусть L - линейное пространство над полем P . Пусть A - линейный оператор; A : L → L .

Определение. Собственным вектором линейного опе-

ратора A называется такой ненулевой вектор x L , что Ax = λx для некоторого λ P . При этом скаляр λ называется собственным значением, соответствующим собственному вектору x .

Замечание. Если x - собственный вектор, отвечающий собственному значению λ , то вектор kx ( k ≠ 0 ) также является собственным, отвечающим тому же собственному зна-

откуда вытекает, что x - собственный вектор, отвечающий собственному значению λ = 4 ;

значит, вектор y не является собственным.

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного оператора потребуется новое понятие. Введем его.

Пусть в пространстве L выбран базис e : e1,..., en и Ae -

матрица оператора A в этом базисе.

Определение. Характеристическим многочленом опе-

ратора A называется многочлен | Ae −λE | , а уравнение

| Ae −λE |= 0 называется характеристическим уравнением.

Покажем, что это определение корректно, т.е. не зависит от выбора базиса.

Теорема 17. Характеристический многочлен оператора A: L → L не зависит от выбора базиса пространства L .

Доказательство. Пусть e , e′ - два базиса пространства L и T =Te→e′ - матрица перехода от базиса e к базису e′. Тогда (см. теорему 15 п.2.4)

Ae′ =T −1AeT .

Следовательно, для характеристического многочлена имеем:

Теорема 18. Число λ P является собственным значением оператора A тогда и только тогда, когда λ - корень характеристического многочлена этого оператора. При этом собственный вектор X , отвечающий собственному значению λ , есть ненулевое решение системы уравне-

ний ( Ae −λE) X = O .

Доказательство. По определению собственные векторы оператора A Φ(L) - это ненулевые решения оператор-

ного уравнения

Записывая (9) подробно, получим систему линейных однородных уравнений:

В этой системе мы пока не знаем ни числа λ , ни столбца X . Однако известно (см. п.3.6 части 1 настоящего пособия), что система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю. Поэтому

Следовательно, собственные значения λk есть корни

характеристического многочлена оператора A , и отвечающие им собственные векторы Xk есть ненулевые решения

системы ( Ae −λk E) X = O . ■

Итак, получено следующее правило нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

1) Для отыскания собственных значений λk надо решить характеристическое уравнение

| Ae −λE |= 0 .

2) Для отыскания собственных векторов надо для каждого найденного собственного значения λk решить одно-

родную систему уравнений

( Ae −λk E) X = O .

Ненулевые решения этой системы - это столбцы координат искомых собственных векторов в базисе e . Фундаментальная система решений этой системы дает полный набор линейно независимых собственных векторов, отвечающих λk .

Найдем собственные значения и собственные векторы этого оператора.

1) Найдем корни характеристического многочлена:

λ1 = 3 . Для этого найдем ненулевые решения системы уравнений ( A −λ1E) X = O :

где α - любое. Таким образом, вектор (α, 0) , где α ≠ 0 , является собственным вектором, отвечающим собственному значению λ1 = 3 . Например, при α =1 , получаем собствен-

ный вектор X1 = (1,0) .

3) Аналогично находим собственный вектор, отвечающий λ2 = 4 :

Тогда вектор (5α,α) , где α ≠ 0 , является собственным вектором, отвечающим λ2 = 4 . При α =1 получаем X2 = (5,1) .

2.6.Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Пусть A - линейный оператор, A : L → L , dim L = n .

Теорема 19. Матрица линейного оператора A : L → L приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда в пространстве L существует базис из собственных векторов этого оператора. В этом базисе матрица оператора A имеет вид

где λi - собственные значения оператора A .

Доказательство. 1) Пусть e : e1, e2 ,..., en - базис в про-

странстве L , и пусть оператор A в этом базисе имеет диагональную матрицу с числами λ1 , λ2 , … , λn на главной диа-

гонали. Тогда в силу определения матрицы оператора

а значит, ei являются собственными векторами оператора A , отвечающими собственным значениям λi .

2)Проведем доказательство в обратную сторону. Пусть

впространстве L существует базис из собственных векторов

e1, e2 ,..., en оператора A , отвечающих собственным значениям λ1, λ2 ,..., λn . Построим матрицу оператора A в этом базисе. Имеем:

Ae1 = λ1e1 = λ1e1 +0 e2 +... +0 en ,

Ae2 = λ2e2 = 0 e1 +λ2e2 +... +0 en ,

. . .

Aen = λnen = 0 e1 +0 e2 +... +λnen .

Напомним, что элементы столбцов матрицы оператора совпадают с коэффициентами строк полученных разложений. Поэтому матрица Ae оператора A в базисе из собственных

векторов будет иметь следующий диагональный вид:

n -мерном линейном пространстве, имеющие n различных собственных значений.

Теорема 20. Собственные векторы оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве L , и u1,...,uk - его соб-

ственные векторы, отвечающие различным собственным значениям λ1,..., λk , т.е.

u1,...,uk линейно зависима. Обозначим через u1,...,us ее максимальную линейно независимую подсистему ( s < k ). Так

как вторая система векторов не совпадает с первой, то найдется вектор us+1 такой, что

i=1

Умножим обе части этого равенства на собственное значение λs+1, получим:

i=1

Сдругой стороны, применяя к обеим частям равенства (10) линейный оператор A , будем иметь:

i=1

Вычитая из равенства (12) равенство (11), получим:

s

∑αi (λi −λs+1)ui =θ .

i=1

Откуда в силу линейной независимости векторов ui , i =1, s , следует, что все коэффициенты равны нулю:

αi (λi −λs+1) = 0 , i =1, s .

Но по условию λi ≠ λs+1 ( i =1, s ), поэтому αi = 0 ( i =1, s ).

s

Тогда вектор us+1 = ∑αiui =θ , чего не может быть, так как

i=1

вектор us+1 - собственный, а значит не может быть нулевым.

Полученное противоречие доказывает, что собственные векторы u1,...,uk , отвечающие различным собственным

значениям, линейно независимы. ■ Непосредственно из теоремы 20 вытекает следующее

утверждение.

Теорема 21. Пусть A : L → L , dim L = n . Если оператор A имеет n различных собственных значений, то матрица оператора A приводима к диагональному виду.

Задача 7. Выяснить, приводимы ли данные матрицы к диагональному виду:

Решение. 1) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим характеристическое уравнение | A −λE |= 0 .

Получили два различных собственных значения. Кроме того, линейный оператор, соответствующий матрице A ,