Материал: Алгебраические_уравнения

√

получаются как произведения 3 на корни из единицы, т. е. на решения уравнения 3 = 1 (рис. 29 на с. 146):

Мы перешли к переменной путем подстановки = − 3 . Возьмем вещественное значение 1:

В последнем нетрудно убедиться, проделав соответствующие операции с комплексными числами (с. 136). Тогда

152 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Многочлен имеет три вещественных корня: один простой и два кратных. Если же уравнение имеет корень третьей кратности, после первой подстановки неполный многочлен примет вид 3 = 0. Это означает, что 1 = 2 = 3 = 3 .

154 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Поскольку 1 и 2 при любом – комплексно-сопряженные

величины, 1 + 2 = 2√3 cos +2 и неполное кубическое

3

уравнение будет иметь вещественные решения:

1)при > 0 уравнение имеет один вещественный и два комплексно-сопряженных корня;

2)при = 0 – три вещественных корня: один простой и два кратных;

3)при < 0 – три простых вещественных корня.

203 Пример 1. Найти корни многочлена 3 − 3 2 − 3 − 4.

Решение. Выполнив подстановку = + 1, получим мно-

гочлен 3 − 6 − 9. Найдем

Поскольку > 0, воспользуемся алгоритмом I (с. 150).

Вернемся к переменной = + 1.

√√

Ответ: 1 = 4, 2 = −12 − · 23 , 3 = −12 + · 23 .

Эту задачу можно решить иначе, заметив, что 4 является корнем, и разделив многочлен на ( − 4) (с. 114):

3 − 3 2 − 3 − 4 = ( − 4)( 2 + + 1),

Остается только найти корни квадратного трехчлена.

Пример 2. Найти корни многочлена 3 + 2 − 3. 203

Решение. Многочлен неполный, и мы сразу определим

= 94 + 278 = 4825·81 > 0. Найдем

Из теории мы знаем, что при > 0 многочлен должен иметь один вещественный корень и два комплексно-сопряженных.