Материал: Алгебраические_уравнения

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

156 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Вещественный корень = 1 «виден невооруженным гла-

зом». Но у нас он равен


3		√		3		√
3		√	+	3		√	,
1 + 2 = √	27 +18		+	√	27	−18	,
		5	33		27	5	33

что мало напоминает единицу. Тем не менее никакой ошибки

здесь нет: просто на этот раз мы наткнулись на «подводный

камень». Дело в том, что

				√								√
3		√				, a	3		√
3		√	=				3		√	=
√	27 +18		=	6			√	27	−18	=	3	−6 .
		5 33	3 +		33			27	5	33	3	33

Действительно, умножим числитель и знаменатель дроби

под знаком кубического корня на такое число, чтобы ку-

бический корень из знаменателя стал целым числом; после

соответствующей группировки выражение в числителе ока-

жется полным кубом:


3		√		3	216		√		=
3		√		3			√
√	27 +18		=	√			33
	5		33		324 + 60		33
			3			√		·		·			√
			3			√	6						√			=
			= √27 + 3 · 9 33				6		3			33 + 33				=
							+ 3		3			33 + 33			33
									√3									3 + √		.
												3 + √			3
													33
							=						33			=			33
							=				(	6		)		=	6
											(	6		)			6

§ 3.5. Формула Кардано

157

Аналогично поступим и для 2. Это не всегда приводит к результату, зато трудно найти лучший тренажер для тренировки интуиции. Если выражения для 1 и 2 не удалось упростить, можно с тем же успехом использовать и изначально полученные громоздкие выражения. В таком случае ваше выражение может не совпадать с выражением в ответе. Возможно, наш совет не всем понравится, но мы предлагаем тогда вычислить на компьюторе и сравнить значения ваших выражений со значениями выражений в ответе. В любом случае это даст информацию для размышлений. Таким образом,

		√		√
1 = 1 + 2 =	3 + 33		+	3 − 33	= 1.
		6
				6

Как и в предыдущем примере, найдем комплексные корни:

2 = 1 + 2 2 =
=		6		(−		2	+ 2				) +				−6			(−2 −				2	)	;
=		6		(−		2	+ 2				) +		3		−6		33	(−2 −				2	)	;
3 +		√33				1			√3				3			√			1			√3

							3 = 1 2 + 2 =
			√				1			√							√			1			√
			√				1			√							√			1			√
=	3 + 33				(−				−		3	)		+		3 − 33			(−		+		3		).
=	6				(−			2	−		2	)		+		6			(−	2	+		2		).

Осталось раскрыть скобки и привести подобные.

√√

Ответ: 1 = 1, 2 = −12 + 211 , −12 − 211 .

	158	ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
	Пример 3.	Найти корни многочлена 3																										+ 2 − 16 + 20.
203	Пример 3.	Найти корни многочлена 3																										+ 2 − 16 + 20.
	Решение. Введем замену переменной = − 31 , раскроем
	скобки и приведем подобные. В результате получим много-
	член 3 − 493 + 68627 .
									2											3	342						2	49						3
	Найдем = (						)		+					(					)		= (				)			− (					)		= 0.
	Найдем = (				2		)		+					(			3		)		= (	27			)			− (				9	)		= 0.
	Поскольку = 0, обратимся к алгоритму II (с. 152).
									7					3														7
	13 = 23 = −			= −		(						)		1 = 2 = − (																	).
	13 = 23 = −		2	= −		(				3		)		1 = 2 = − (															3		).
													√															√
						1							√		3						1							√		3
	+ 2 = (−							+										) + (−						−							) = −1.
	+ 2 = (−					2		+						2				) + (−					2	−				2			) = −1.
									14																	7		( + 2) =							7
	1 = 1 + 2 = −													; 2 = 3 = −																								.
	1 = 1 + 2 = −										3			; 2 = 3 = −												3										3		.
														1																					1
				1 = 1 −														=			−5; 2 = 3 = 2 −																		= 2.
				1 = 1 −												3		=			−5; 2 = 3 = 2 −																3		= 2.
	Ответ: 1 = −5; 2						= 3 = 2.
203	Пример 4.	Найти корни многочлена 3																										− 6 2 − 3 + 26.
	Решение. Подстановка = +2 даст многочлен 3−15 +4:
	= 4 − 125 = −121,																				13,2 = −2 ± · 11.

Теперь мы можем действовать в соответствии с алгоритмом III (с. 153) или идти своим тернистым путем.

Первый способ. Приведем правую часть последнего ра-

§ 3.5. Формула Кардано

159

венства к тригонометрической форме:

√

−2 ± · 11 = (cos + · sin ), где

4 + 121 =

125,

= (−

√

). Тогда

125

1 = √

(cos

+ 2

+ √

cos

+ 2

);

2 = √

(cos

+ 2

− √

cos

+ 2

)

√

+ 2

√

+ 4

1 = 2

5 cos

, 2 = 2

5 cos

, 3 = 2

5 cos

где = 0, 1, 2. Таким образом,

√

≈ 5, 732;

1 = 1 + 2 = 2

5 cos

√

+ 2

−2;

2 = 2 + 2 = 2 5 cos

√

+ 4

≈ 2, 268,

= 3 + 2

5 cos

где = (−√

125

Второй способ:

13 = −2 + · 11 = −8 + 12 + 6 − = (−2 + )3 1 = −2 + .

Здесь снова сработала «угадайка», и такие комбинации проходят только с целыми числами. В общем случае корни

160 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

уравнения не выражаются через его коэффициенты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями. Аналогично 2 = −2 − и, таким образом,

1 = 1 + 2 = −4;
2 = 1 + 2 2 = 1 (−			√					√
	1				3		1				3
						)+ 2 (−								) = 2−√3;
		+						−
	2		2				2		2
			√						√
	1						1					3
3 = 1 2 + 2 = 1 (−						)+ 2 (−								) = 2+√3.
		−		3				+
	2			2			2			2
Значит, 1 = 1 + 2 = −2;										√
				2 = 1 + 2 = 4 −									3 ≈ 2, 268;
										√
				3		= 3 + 2 = 4 +							3 ≈ 5, 732.

Оба способа решения задачи дают один ответ. Разумеется,

нумерация корней не обязана совпадать. По форме ответ во

втором случае выглядит иначе, и не всегда просто доказать

тождественность соответствующих выражений. Если приве-

денный в конце книги ответ к задаче не совпадает с вашим,

полезно найти численные значения результатов с некоторой

точностью. Если они не совпадают – кто-то из нас ошибся.
Ответ: 1 = −2,	√		√
	2 = 4 −	3, 3 = 4 + 3.

В инженерных приложениях часто представляет интерес значение корня только с точностью до заданного количества знаков после запятой. В таком случае гораздо эффективней работают численные методы, с которыми мы обязательно

Источник: https://studfile.net/preview/16371093/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "