Материал: Алгебраические_уравнения

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 3.6. Формула Феррари

161

познакомимся в одном из следующих выпусков нашей се-
рии. Аналитическое представление корней кубического мно-
гочлена может иметь очень даже громоздкий вид. При этом,
чтобы примерно установить место корня на вещественной
оси, нам все равно потребуется поработать. Поэтому ана-
литическое решение интересно прежде всего в тех случаях,
когда мы в дальнейшем собираемся исследовать полученное
решение. Задачи, которые приведены в конце книги, пред-
назначены для закрепления теории, и их решение не пред-
полагает чрезмерно громоздких выкладок.
Задачи к параграфу на с. 203, п. 36–38.

§ 3.6. Формула Феррари

149 164 Первый шаг алгоритма нахождения корней многочлена четвертой степени

4 + 3 + 2 + +

также связан с заменой переменной. Сделаем подстановку

= − 4 , раскроем скобки и приведем подобные. Теперь задача сводится к нахождению корней неполного многочлена вида

4 + 2 + + .

162 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Введем вспомогательную переменную и преобразуем выражение многочлена к виду

			2		2
( 2 +		+ )		− [2 2 − + ( 2 + − +		) ]. (6)
	2				4

Полученное выражение тождественно исходному при любом значении . Теперь подберем такое значение , при котором выражение в квадратных скобках будет полным квадратом. Для этого достаточно найти значение , обращающее в ноль дискриминант квадратного трехчлена

		2
2 2 − + ( 2 + − +			).
2 2 − + ( 2 + − +		4	).
= 2 − 8 ( 2							2
	+ − +							) =
	+ − +						4	) =
			2
= −8 3 − 8 2 − 8 (					− ) + 2.
= −8 3 − 8 2 − 8 (				4	− ) + 2.
= 0 3 + 2 + (						2	− ) −		2
										= 0.
						4			8	= 0.

Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере один вещественный корень. После того как выражение в квадратных скобках из формулы (6) будет представлено в виде полного квадрата, мы применим тождество для разности квадратов. Таким образом, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов, а задача нахождения корней многочлена сводится

§ 3.6. Формула Феррари	163
к задаче нахождения корней двух квадратных трехчленов.
Пример. Найти корни многочлена
		204

4 4 + 80 3 + 540 2 + 1496 + 1465.

Решение. Разделим левую и правую части уравнения на 4.

4 + 20 3 + 135 2 + 374 + 14654 = 0.

Сделаем подстановку = −5. Тогда уравнение примет вид

4 − 15 2 + 24 − 154 = 0.

Перепишем выражение в виде

( 2 −	2 + )	2	− (2 2 − 24 + 2 − 15 + 60).
	15
= 276 − 8 ( 2			− 15 + 60) = −8 2 + 120 − 480 + 12.
			= 0 3 − 15 2 + 60 − 72 = 0.

Один вещественный корень = 3 мы можем «угадать» (теорема на с. 111). При = 0 квадратный трехчлен

2 2−24 + 2−15 +60 = 6 2−24 +24 = 6( 2−4 +4) = 6( −2)2.

164 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Следовательно,

( 2 −

−

(

√6 · ( − 2) =

= ( 2 −

√6 − 2 + 2√6)( 2 + √6 − 2 − 2√6).

1) Найдем корни трехчлена

−

√

+ 2

√

6 −

√

√2 +

√

√6 −

− 2√6.

2) Найдем корни трехчлена

= 4(6 −

6);

1,2

± 2

− 2

√

6;√2 =

√

Ответ:

− 2

6 − 2 6;

1 =

+ 2

6 − 2

= 4(6 + 2

6);

1,2

−

6 + 2

√

− 2

+ 2√6;

= −

2 +

6 +√ .

√

2 6

Формула

Феррари так же, как и формула Кардано, не на-

шла широкого применения на практике по причине своей

громоздскости. Если бы в примере мы взяли многочлен со

случайными коэффициентами, вероятно, для записи ответа

не хватило бы места на странице.

Задачи к параграфу на с. 204, п. 39.

§ 3.7. Границы корней многочлена

161 168 В этом параграфе нас будут интересовать только вещественные корни многочлена. Мы уже знаем, что поиск корней многочленов степени выше второй – дело непростое. Даже если мы применяем численные методы, для начала

§ 3.7. Границы корней многочлена

165

неплохо бы знать, на каком интервале следует вести поиск.

Ведь ось бесконечная! Пусть дан многочлен

( ) = 0 + 1 −1 + · · · + −1 + .

→±∞

+ 0

−1 + 2 −2

· · ·

lim

= lim

· · ·

→±∞

−1

= +∞.

Таким образом, старший член по модулю растет быстрей всех остальных и, начиная с некоторой точки, превосходит модуль их суммы. Значения | |, выходящие за эту границу, не могут быть корнями. Теперь рассмотрим модуль многочлена 1 −1 + 2 −2 + · · · + 0. Очевидно,

| 1 −1 + 2 −2 +· · ·+ 0|≤ | 1|| | −1+| 2|| | −2+ · · ·+| |≤ ≤ ( | −1+| | −2+ · · · + 1), где = {| 1|, | 2|, · · · | |}.

По формуле суммы геометрической прогрессии,

( | −1+| | −2+ · · · + 1) = | | −1 < | | . | |−1 | |−1

Считаем | |> 1. Тогда условие

| 1 −1 + 2 −2 + · · · + 0|≤ | 0 |

Источник: https://studfile.net/preview/16371093/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "