Материал: Алгебраические_уравнения
166 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
выполняется, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|≥ |
|
|
+ 1. |
|
|
| |−1 |
| 0| |
|||||||||
|
| |−1 ≤ | 0|| | |
|
≤ | |
0| | |
|
|||||||
Заметим, что условие | |> 1 здесь действительно выполняется. Последнее неравенство задает два интервала, на которых не может быть корней многочлена. В таком случае
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
корни следует искать только на интервале | |< |
|
+1. Ина- |
||||||||
| 0| |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
че говоря, − |
|
|
+ 1 ; + |
|
|
|
+ 1 . Мы только что |
|||
|
0 |
|
0 |
|||||||
определили верхнюю( (| |
границу| ) |
для(| корней| ) )многочлена. Сде- |
||||||||
лаем замену переменной = 1 |
. Тогда |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 + 1 −1 +· · ·+ −1 + = |
1 |
|
( + −1 −1 +· · ·+ 0). |
|||||||
|
||||||||||
|
||||||||||
При этом будем считать, что ̸= 0, т. е. = 0 не являет-
ся корнем исходного многочлена. Каждому корню нового
многочлена будет соответствовать корень = 1 исходного многочлена и наоборот. Теперь займемся границами корней многочлена в скобках. Пусть = {| 0|, | 1|, · · · | −1|}.
Тогда, как доказано выше, | |< |
|
+ 1. Отсюда |
|||||||
| | |
|||||||||
|
< |
+ 1 | |> + |
. |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| | |
|
|
| |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3.7. Границы корней многочлена |
167 |
Следовательно, для корней многочлена всегда справедливо неравенство
|
|
|
|
| | |
< |
|
|
< |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ | | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
| | |
|
| 0| |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или, что то же самое, |
) |
( + |
|
|
|
|
|
+ 1), |
|||||||||||
(− |
0 |
− 1; − + |
; |
|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
| | |
|
| |
|
| |
| | |
|
|
||||||||||
где = {| 1|, | 2|, · · · | |}, = {| 0|, | 1|, · · · | −1|}. |
|||||||||||||||||||
Пример 1. Определить границы вещественных |
|
204 |
|||||||||||||||||
корней многочлена 3 − 3 2 − 3 − 4.
Решение. С этим многочленом мы уже встречались на с. 154.
= {1, 3, 3} = 3, = {3, 3, 4} = 4 | | |
( |
7; 5). |
|||
|
|
|
4 |
|
|
Ответ: | | |
74 ; 5 . |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
Пример 2. Определить границы вещественных |
|
|
|
204 |
|
корней многочлена 3 6 − 2 4 + 3 − 3 2 + 2. |
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
= {3, 2, 1, 3} = 3, = {2, 1, 3, 2} = 3 | | (0,4; 2). |
|||||
Ответ: | | (0,4; 2). |
|
|
|
|
|
Задачи к параграфу на с. 204, п. 40. |
|
|
|
|
|
168 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
§ 3.8. Интерполяционный многочлен
Лагранжа
164 173 Всем известно, что через две точки на плоскости
можно провести одну единственную прямую. Многие знают,
что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
единственная парабола с уравнением = 2 + + . Воз-
никает вопрос: как построить многочлен, график которого
проходит через заданные точек плоскости? Рассмотрим
задачу для случая четырех точек: ( 1; 1), ( 2; 2), ( 3; 3) и
( 4; 4). Поскольку мы строим функцию, естественно потре-
бовать различные значения для = 1, 2, 3, 4; значения
могут совпадать. Теперь построим четыре вспомогательных
функции:
1( ) = |
( − 2)( − 3)( − 4) |
; |
|
|
|
( 1 − 2)( 1 − 3)( 1 − 4) |
|
||
|
2( ) = |
( − 1)( − 3)( − 4) |
; |
|
|
( 2 − 1)( 2 − 3)( 2 − 4) |
|||
|
|
|
||
|
3( ) = |
( − 1)( − 2)( − 4) |
; |
|
|
( 3 − 1)( 3 − 2)( 3 − 4) |
|||
|
|
|
||
4( ) = |
( − 1)( − 2)( − 3) |
. |
|
( 4 − 1)( 4 − 2)( 4 − 3) |
|
Нетрудно понять принцип их построения. Поскольку все
имеют различные значения, знаменатели дробей отличны от нуля. Каждая из четырех функций является много-
§ 3.8. Интерполяционный многочлен Лагранжа |
169 |
членом третьей степени от . А теперь попробуем в качестве аргумента ( ) подставить одно из значений , где
, = 1, 2, 3, 4.
{
1, если = ;
( ) =
0, если ̸= .
Осталось записать выражение:
( ) = 1 1( ) + 2 2( ) + 3 3( ) + 4 4( ).
Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. Сумма многочленов третьей степени является многочленом степени не выше третьей, но может быть ниже третьей, если коэффициенты при старших членах сократятся. Из свойств вспомогательных функций следует: ( ) = . Таким образом, график построенного многочлена проходит через четыре заданные точки. Аналогичные рассуждения нетрудно воспроизвести и при построении многочлена по пяти и более точкам. Своим названием многочлен обязан выдающемуся французскому ученому Жозефу Луи Лагранжу, а под интерполяцией в математике подразумевают метод нахождения промежуточных значений функции по имеющемуся набору известных.
Пример 1. Построить многочлен Лагранжа, график кото- 204
рого проходит через точки (0; 2), (3; 3), (4; 4), (7; 10) и (8; 12).
170 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Решение. По известным значениям абцисс {0, 3, 4, 7, 10} по-
строим вспомогательные функции:
1( ) = ( − 3)( − 4)( − 7)( − 8); 672
2( ) = ( − 4)( − 7)( − 8); −60
3( ) = ( − 3)( − 7)( − 8); 48
4( ) = ( − 3)( − 4)( − 8); −84
5( ) = ( − 3)( − 4)( − 7). 160
Поставив в качестве коэффициентов при вспомогательных функциях ординаты соответствующих точек, получим интерполяционный многочлен Лагранжа:
( ) = 2 1( ) + 3 2( ) + 4 3( ) + 10 4( ) + 12 5( ).
На графике (рис. 31) видно, что кривая действительно проходит через точки (0; 2), (3; 3), (4; 4), (7; 10) и (8; 12). Обычно не требуется приведения подобных в выражении многочлена Лагранжа, но если раскрыть скобки и привести подобные, многочлен будет выглядеть так:
( ) = −168013 4 + 101840 3 − 1680653 2 + 263420 + 2.