Материал: Алгебраические_уравнения
§ 3.8. Интерполяционный многочлен Лагранжа |
171 |
Рис. 31. График многочлена Лагранжа
Сомневающиеся могут убедиться в том, что
(0) = 2, (3) = 3, (4) = 4, (7) = 10 и (8) = 12.
В курсе математики средней школы выводят уравнение прямой, проходящей через заданные точки ( 1; 1) и ( 2; 2):
− 1 |
= |
− 1 |
|
= |
1 2 − 2 1 |
+ |
2 − 2 |
. |
2 − 1 |
2 − 1 |
|
|
|||||
|
|
2 − 1 |
2 − 1 |
|||||
Это же уравнение можно получить, сгруппировав по члены интерполяционного многочлена Лагранжа:
( ) = 1 |
− 2 |
+ 2 |
− 1 |
. |
1 − 2 |
|
|||
|
|
2 − 1 |
||
Теперь зададимся вопросом: какой вид будет иметь интерполяционный многочлен Лагранжа, если заданы три лежащие
172 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
на одной прямой точки? Из теории (с. 80) следует, что пря-
мая не может пересечь параболу более чем в двух точках.
204 Пример 2. Построить многочлен Лагранжа, график кото-
рого проходит через точки (1; 2), (3; 6) и (9; 18).
Решение. Построим три вспомогательных многочлена:
1( ) = |
( − 3)( − 9) |
= |
|
( − 3)( − 9) |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(1 − 3)(1 − 9) |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2( ) = |
( − 1)( − 9) |
= |
( − 1)( − 9) |
; |
|
|
||||||||
|
|
|
(3 − 1)(3 − 9) |
|
−12 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3( ) = |
|
( − 1)( − 3) |
= |
( − 1)( − 3) |
. |
|
|||||||
|
|
|
(9 − 1)(9 − 3) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|||||
Тогда многочлен Лагранжа примет вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( ) = 2 |
( − 3)( − 9) |
+ 6 |
( − 1)( − 9) |
|
+ 18 |
( − 1)( − 3) |
. |
|||||||||
|
|
16 |
|
|
|
|
−12 |
|
|
|
|
48 |
|
|
||
Раскрыв скобки в правой части равенства, придем к урав-
нению = 2 . Алгоритм «распознал», что ему вместо пара-
болы «подсунули» прямую.
Ответ: = 2 .
Рассмотрим еще одну задачу. Требуется найти квадратный
трехчлен, если известны его корни 1 и 2, а его график
проходит через точку ( 0; 0). В таком случае коэффици-
енты при вспомогательных многочленах, соответствующих
1 и 2, нулевые, поэтому достаточно построить один вспо-
могательный многочлен, соответствующий 0, и многочлен
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
173 |
|
|||||||||||
Лагража будет равен произведению этого многочлена на 0: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
( ) = |
|
( − 1)( − 2) |
= |
|
|
|
|||
0 |
· ( 0 − 1)( 0 − 2) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
0 |
|
|
[ 2 − ( 1 + 2) + 1 2]. |
|
|||||||
|
( 0 − 1)( 0 − 2) |
|
|||||||||||
Пример 3. Найти квадратный трехчлен, если его |
205 |
||||||||||||
корни (−1) и 4, а график проходит через точку с координа- |
|
||||||||||||
тами (6, 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Многочлен Лагранжа примет вид |
|
||||||||||||
3 |
[ 2 |
− (−1 + 4) − 4] = |
3 |
( 2 − 3 − 4). |
|
||||||||
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(6 + 1)(6 − 4) |
14 |
|
|||||||||||
Ответ: |
3 |
( 2 − 3 − 4). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задачи к параграфу на с. 204, п. 41–42. |
|
|
|
|
|
||||||||
§ 3.9. Многочлены в других задачах
168 188 |
Охватить все приложения многочленов в элемен- |
|
||||||||||
тарной и высшей математике нереально. В этом параграфе |
|
|||||||||||
мы ограничимся несколькими примерами. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1. Решить уравнение √3 |
|
|
+ √ |
|
= 6. |
|
|
|||||
|
|
|
205 |
|||||||||
+ 24 |
12 − |
|||||||||||
Решение. Введем переменные = √3 |
|
и = √ |
|
. |
|
|||||||
+ 24 |
12 − |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ = 6 |
= 6 − |
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда 3 + 2 = 36 |
3 + (6 |
− |
)2 = 36 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
174 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
3 + 2 −12 = 0 ( 2 + −12) = 0 ( +4)( −3) = 0.
Рассмотрим три случая: |
|
|
|
|||||||||||
1) |
|
= −24. Проверка: √3 |
|
+ √ |
|
|
= 6; |
|
||||||
= 0 |
0 |
36 |
||||||||||||
2) |
= −4 = −88. Проверка: √3 |
|
|
|
|
√ |
|
= 6; |
||||||
−64 |
+ |
100 |
||||||||||||
3) |
|
= 3. Проверка: √3 |
|
+ √ |
|
= 6. |
||||||||
= 3 |
27 |
9 |
||||||||||||
Ответ: 1 = −24, 2 = −88, 3 = 2.
Теперь немного теории. Пусть дано неравенство
> − > 0.
Разумеется, для входящих в неравенство переменных должны выполняться условия:
( > 0)&( ̸= 1)&( > 0)&( > 0).
1)< 1 < , поскольку в таком случае логарифм – убывающая функция: ( −1 < 0)&( − < 0) ( −1)( − ) > 0;
2)> 1 > , поскольку теперь логарифм – возрастающая функция: ( − 1 > 0)&( − > 0) ( − 1)( − ) > 0.
Значит, неравенство − > 0 выполняется тогда и только тогда, когда ( − 1)( − ) > 0. Повторив те же рассуждения для случая < , мы придем к заключению, что в области определения соответствующих выражений знак − совпадает со знаком ( − 1)( − ). В математике имеется функция sgn («сигнум»), название
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
175 |
которой происходит от латинского signum — знак. Определяется функция так:
1, если > 0;
( ) = 0, если = 0;
−1, если > 0.
Ее впервые ввел Леопольд Кронекер. Теперь вывод относительно разности логарифмов можно сформулировать следующим образом: ( − ) = [( − 1)( − )]. В дальнейшем два выражения ( , , , . . .) и ( , , , . . .) будем называть знакоэквивалентными, если
[ ( , , , . . .)] = [ ( , , , . . .)]
для любого набора значений , , , . . ., при котором определены все входящие в равенство выражения. Отношение знакоэквивалентности будем обозначать:
( , , , . . .) ( , , , . . .).
Если ( , , , . . .) принимает только положительные значения на всей области определения, то ( , , , . . .) 1, если отрицательные, то ( , , , . . .) −1. Ниже представлены некоторые знакоэквивалентные пары выражений.