Материал: Алгебраические_уравнения
176 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Знакоэквивалентные выражения:
1.log − log ( − 1)( − ).
2.log ( − 1)( − 1).
3.log − log ( − 1)( − 1)( − 1)( − ).
4.( − ) ( − 1)( − ).
5.( − ) ( − ).
6.−1 ( − ).
7.√ − √ ( − ).
8. |
1 |
1 |
|
|
( − ). |
|
||||||||
|
√ |
|
|
− √ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
(√ |
|
|
− √ |
|
|
) |
( − ). |
||||||
− |
− |
|||||||||||||
10. |
(√ |
|
− √ |
|
) |
( − ). |
||||||||
+ |
+ |
|||||||||||||
Предлагаем читателю в порядке упражнений доказать знакоэквивалентность выражений начиная со второго пункта. Обратите внимание, что правые части всех перечисленных выше отношений – многочлены от , , , . . . Эти отношения не стоит заучивать. При наличии навыка они выводятся довольно легко.
205 Пример 2. Решить неравенство
log +1( 2 − 2 − 2) − log 1 (7 − ) < 1.
+1
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
|
|
|
|
|
|
177 |
|||||||||||
Решение: |
|
|
|
> −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ 1 > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ 1 = 1 |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОДЗ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 > 0 |
|
|
|
|
; 1 |
√3 1 + √3; + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(−∞ − |
|
|
) ( |
∞) |
||||||
7 |
|
− − |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
> 0 |
|
|
< 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
√ |
|
) |
( |
√ |
|
) |
|
|||
пустимых значений |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, −1; 1 − |
|
3 |
1 + |
|
3; 7 . Область до- |
|||||||||||||
отражена в верхней части схемы (рис. 32).
Рис. 32. Промежутки знакопостоянства
Преобразуем неравенство к виду
log +1( 2 − 2 − 2) + log +1(7 − ) − log +1( + 1) < 0
log +1 [( 2 − 2 − 2)(7 − )] − log +1( + 1) < 0.
Влевой части последнего неравенства заменим разность логарифмов на знакоэквивалентное выражение (п. 1, с. 176):
[( 2 − 2 − 2)(7 − ) − ( + 1)] < 0 − ( 3−9 2−13 +15) < 0.
178 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Найдем среди делителей свободного члена целый корень
= 3 и разделим многочлен на ( −3) по схеме Горнера (см. пр. на с. 114). Результат деления – квадратный трехчлен
2−6 −5. Найдем его корни и запишем исходный многочлен
в виде произведения линейных членов:
( √ )( √ )
− ( − 3) − (3 − 14) − (3 + 14) .
√√
Точки 0, 3, 3 − 14, 3 + 14 делят вещественную ось на
5 промежутков знакопостоянства. Определим знак на од-
ном из интервалов, а знаки остальных расставим по прин-
ципу чередования (см. пр. на с. 130). Промежутки знакопо-
стоянства отмечены на схеме (см. рис. 32). Нас интересуют |
||||||||||||||||||||||||||||
С учетом |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
) |
|
|
( |
√ |
|
|
|
|
) |
||||||
значения |
−∞; 3 − |
|
|
14 |
|
(0; 3) 3 + |
|
|
14; +∞ . |
|||||||||||||||||||
|
ОДЗ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1; 1 − √ |
|
|
1 + √ |
3; 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
( |
; 3 |
|
|
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(−∞ |
|
− |
√ |
|
|
) |
|
(0; 3) |
( |
|
√ |
|
|
|
|
∞) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
3 + 14; + |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||||
(−1; 3 − |
|
14) (0; 3) (3 + |
14; 7). |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: (−1; 3 − |
|
14) (0; 3) (3 + |
|
14; 7). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
205 Пример 3. Решить неравенство
log +2(2 2 − 7 + 8) − log +2( 2 − 2 + 2) > 0.
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
179 |
Решение:
+ 2 > 0
+ 2 ̸= 1
ОДЗ: (−2; −1) (−1; +∞).
2 2 − 7 + 8 > 0
2 − 2 + 2 > 0
Разность логарифмов знакоэквивалентна (п. 1, c. 176) выражению ( + 1)( 2 − 5 + 6), и, таким образом,
( + 1)( − 2)( − 3) > 0 (−1; 2) (3; +∞). |
|
Решение входит в ОДЗ. |
|
Ответ: (−1; 2) (3; +∞). |
|
Пример 4. Решить неравенство |
205 |
( 2 − 1) 2−5 +6 − ( 2 − 1) 2− −2 ≤ 0.
Решение. Здесь следует сначала решить задачу со строгим неравенством, а затем исследовать поведение функции
( ) = ( 2 − 1) 2−5 +6 − ( 2 − 1) 2− −2
на границах промежутков знакопостоянства. В противном случае мы можем сделать поспешные выводы. Например, по виду уравнения заключить, что значения = ±1 – решения,
180 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
а это, как видно на графике функции ( ) (рис. 33а), не так. ОДЗ: 2 − 1 > 0 (−∞; −1) (1; +∞).
Рис. 33. График функции ( )
Разность показательных функций знакоэквивалентна (п. 4, c. 176) выражению ( 2 − 2)(−4 + 8), и, таким образом,
√ |
|
√ |
|
√ |
|
|
√ |
|
|
( − |
2)( + |
2)(2 − ) < 0 (− 2; |
2) (2; +∞). |
||||||
√√
С учетом ОДЗ, (− 2; −1) (1; 2) (2; +∞). Теперь
пора вспомнить, что в условии задачи речь шла о нестрогом
неравенстве. У нас имеется 5 граничных точек: −√2, −1, 1, |
|
√ |
√ |
2 и 2. В точках ± 2 и 2 график функции пересекает ось
, но с точками ±1 дело обстоит иначе:
lim ( ) = −1, lim ( ) = −∞.
→−1−0 |
→1+0 |