Материал: Алгебраические_уравнения

Поскольку ( ) не определена на интервале (−1; 1), переменная стремится к (−1) слева, а к 1 – справа. Первый предел равен (−1), т. е. график функции обрывается в точке с координатами (−1; −1) (см. рис. 33б). Тем не менее в самой точке = −1 функция не определена, так как выражение ( 2 − 1) 2− −2 имеет в этой точке неопределенность вида 00 (любая степень ноля – ноль, но любое число в нулевой степени – единица). = 1 – вертикальная ассимптота. Сам по себе график может стать источником заблуждений. Например, рассматривая рис. 33а, можно заподозрить, что график функции слева и справа прижимается к двум вертикальным ассимптотам. Однако это не так. Просто при

→ ±∞ функция очень быстро стремится к бесконечности:

182 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

(−3; −2) (−2; 1) (4; 5].

Заметим, что из отношений знакоэквивалентности (c. 176)

следует:

log +3(2 2 −6 + 4) −log +3( 2 −5 + 4) ( + 2)( 2 − ) =

( − 1)( + 2)

(−1)( − 7)( − 2)( − 3) − ( −1)( −2)( −3)( −7)( +2).

Неравенство − ( −1)( −2)( −3)( −7)( + 2) < 0 выполняется для (−3; −2) (0; 1) (2; 3) (7; +∞). В ответе учтем ОДЗ.

Ответ: (−3; −2) (0; 1).

Пример 6. Выразить cos(6 ) и sin(6 ) через cos( ) и sin( ). 206

Решение. Достроим снизу изображенный на с. 58 треугольник Паскаля. Теперь последняя строка содержит коэффициенты бинома ( + )6:

С другой стороны, по формуле бинома Ньютона:

(cos + sin )6 = (cos )6 + 6(cos )5 sin +

+15(cos )4( sin )2 + 20(cos )3( sin )3+

+15(cos )2( sin )4 + 6 cos ( sin )5 + (sin )6 =

=cos6 + · 6 5 sin − 15 cos4 sin2 −

−·20 cos3 sin3 + 15 cos2 sin4 + ·6 cos sin5 −sin6 =

=cos6 − 15 cos4 sin2 + 15 cos2 sin4 − sin6 +

+· (6 5 sin − 20 cos3 sin3 + 6 cos sin5 ). (8)

184 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА

Осталось приравнять правые части равенств (7) и (8).

Ответ:

cos 6 = cos6 − 15 cos4 sin2 + 15 cos2 sin4 − sin6 , sin 6 = 6 5 sin − 20 cos3 sin3 + 6 cos sin5 .

Следующая задача связана с рядом Фибоначчи. Первые два члена этого ряда – единицы, а каждый следующий равен сумме двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 . . . .

206 Пример 7. Найти формулу -го члена ряда Фибоначчи.

Решение. Пусть – -й член ряда Фибоначчи, где = 0, 1, 2, . . . Тогда 0 = 1 = 1 и = −1 + −2 для

= 2, 3, . . .

Введем производящую функцию

Операции с такими суммами требуют теоретического обос-

нования, но все же мы рискнем продолжить рассуждения.

Умножим левую и правую части равенства = −1 + −2

на и просуммируем полученные равенства по :

Теперь найдем значения и , при которых выполняется

последнее равенство: