Материал: Алгебраические_уравнения

17.Представить многочлен ( ) в виде

( )· − ( )+ ( ), где степень остатка от деления

< . Деление многочлена на многочлен выполнить «лесенкой» (отв. на с. 215):

(a)5( ) = 2 5 + 5 4 + 2 3 + 4 2 + 3 + 7;2( ) = 2 + + 1.

(b)6( ) = 6 − 5 + 5 4 − 7 3 + 12 2 − 13 + 4;2( ) = 2 − + 3.

(c)7( ) = 2 7 − 6 −3 5 +9 4 +13 3 +20 2 −16 −33;3( ) = 3 − 2 2 + + 5.

(d)7( ) = 3 7−11 6+13 5−4 4+2 3+13 2−17 −7;3( ) = 3 − 3 2 + 2 + 2.

18.Представить многочлен ( ) в виде

( ) · −1( ) + , где ( ) – линейный член, – остаток. Деление многочлена на линейный член ( ) выполнить по схеме Горнера (отв. на с. 216):

(c)5( ) = 2 5 + 13 4 + 16 3 + 3 2 − 17 − 24;

( ) = + 5.

197

(d)5( ) = 3 5 − 8 4 + 5 3 − 5 2 + + 7;

( ) = − 2.

19.Разложить многочлены на множители (отв. на с. 216):

(a)4 − 4.

(b)2 + 14 + 49 2.

(c)3 − 6 2 + 12 2 − 8 3.

(d)4 + 2 + 1.

(e)4 + 4.

20.Разложить многочлены на множители (отв. на с. 217):

(a)5 + 3 4 − 4 3 − 12 2.

(b)5 + 3 2 − 2 3 − 5.

(c)4 + 2 3 − 2 − 1.

(d)4 4 + 5 2 + 1.

21.Разложить многочлены на множители, предварительно заметив, что числа 1 и 2 – их корни. Деление на

2 − 3 + 2 выполнить «лесенкой» (отв. на с. 217):

(a)4 − 13 3 + 53 2 − 83 + 42.

(b)4 + 7 3 − 7 2 − 43 + 42.

(c)5 − 8 4 + 10 3 + 46 2 − 119 + 70.

(d)5 − 8 4 + 24 3 − 66 2 + 119 − 70.

22.Разложить многочлены на множители. Для понижения степени многочлена «угадать» его целый корень (теор. на с. 111). Деление многочлена на линейный член выполнить по схеме Горнера (отв. на с. 217):

(a)3 − 11 2 + 31 − 21.

(b)3 + 12 2 + 39 + 28.

(c)4 − 8 3 + 8 2 + 56 − 105.

(d)4 + 8 3 + 22 2 + 56 + 105.

23.Разложить многочлены на множители. Для понижения степени многочлена «угадать» его рациональный корень (теор. на с. 112). Деление многочлена на линейный член выполнить по схеме Горнера (отв. на с. 217):

(a)5 3 + 4 2 + 9 − 2.

(b)2 3 + 9 2 + 11 + 3.

(c)2 3 + 5 2 − 5 + 1.

199

(d)3 3 + 17 2 + 4 − 4.

24.Разложить многочлен четвертой степени с симметричными коэффициентами на множители (отв. на с. 218):

(a)4 − 8 3 + 14 2 − 8 + 1.

(b)3 4 − 23 3 + 48 2 − 23 + 3.

(c)4 − 10 3 + 26 2 − 10 + 1.

(d)4 − 9 3 + 22 2 − 9 + 1.

25.Разложить многочлен шестой степени с симметричными коэффициентами на множители (отв. на с. 218):

(a)6 − 6 5 + 14 4 − 18 3 + 14 2 − 6 + 1.

(b)6 − 12 5 + 50 4 − 84 3 + 50 2 − 12 + 1.

26.Разложить многочлен на множители, исходя из предположения, что он имеет делитель вида 2 +

(отв. на с. 219):

(a)2 4 − 3 3 + 2 2 − 6 − 4.

(b)2 4 − 3 3 − 7 2 + 6 + 6.

(c)6 5 − 11 4 + 3 3 − 18 2 − 18 + 8.

(d)6 5 − 4 + 8 3 − 7 2 − 30 − 12.

27.Решить неравенства (отв. на с. 219):

(a)( + 4)( − 5)( + 1)( − 2)(3 − ) > 0.

(b)( − 2) ( − 3)( + 1) ≤ 0.

(c)( + 3)3( + 2)2 ( − 1)( − 2)2 ≥ 0.

(d)( + 5)2( + 3)( − 1)( − 2)2( − 3) < 0.

(e)( 2 + 2 + 5)( + 3)3( − 2)2( − 3) ≥ 0.

(f)( + 5)2( 2 + 3 + 3)( + 2)( − 1)2( − 2) < 0.

28.Решить неравенства (отв. на с. 220):

(a)3 + 2 2 + − 18 > 0.

(b)2 3 + 2 + 4 − 15 ≤ 0.

(c)4 − 6 3 + 10 2 − 6 + 1 > 0.

(d)2 4 + 3 + 4 2 + + 2 > 0.

29.Найти комплексные корни квадратных трехчленов (отв. на с. 220):

(a)2 + 4 + 5.