Материал: Астахов Механика. Конспект лекций 2011

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1-й

v1y = v01 – gt,

(5.5)

2-й

v2y = − v02 − gt,

(5.6)

3-й

v3y = −gt;

(5.7)

y−координата материальных точек равна:

1-й

= h

+ v

t −

gt2

(5.8)

2-й

= h2

− v02 t −

(5.9)

3-й

= h3

−

gt2

(5.10)

Решая, например, уравнение (5.8) относительно времени, мож-

но определить момент времени th, при котором 1-я м.т. находится

на высоте h (от начальной до максимальной высоты при движении

м.т. вверх и от максимальной высоты до нуля при ее движении

вниз), а затем определить проекцию скорости на этой высоте, ис-

пользуя уравнение (5.5).

Движение материальной точки, брошенной под углом к гори-

зонту

Это равнопеременное криволинейное движение в системе от-

счёта, связанной с Землей, в случаях, когда м.т. бросают с поверх-

ности Земли (рис.5.2) или с некоторой высоты с начальной скоро-

стью, направленной под некоторым углом α0 (−90° < α0 < 90°) к

горизонтальной оси Ох.

При таком движении

матери-

альной точки:

скорость

H v

v = vн + g

(5.11)

радиус-вектор

g ( t)2

αo

r = rн + vн t +

(5.12)

0,5L

L x

Рис. 5.2

проекции скорости
vx = vнx		+ gx		t,				(5.13)
vy = vнy		+ gy		t,				(5.14)
координаты			gx (		t)2
x = xн	+ vнx	t +	gx (		t)2			(5.15)
						,
				2		,
				2
y = yн	+ vнy	t +	gy (		t)2			(5.16)
							.
				2			.
				2

При определении проекций скорости и ускорения на оси координат Ох и Оу, показанных на рис.5.2, и их подстановки в уравнения (5.13) – (5.16) получаются равенства (при хн = 0, ун = 0, tн = 0):

для проекций скорости


vx = v0cosα0,								(5.17)
vy = v0sinα0 − gt,								(5.18)
для координат
x = v0 cosα0 t,								(5.19)
y = v0sinα0 t −				gt2			.	(5.20)

2
Решая совместно уравнения (5.17) – (5.20), можно определить:
время подъёма на максимальную высоту
tпод =		v0sinα0			,			(5.21)

		g
время движения (при ук = ун)
tдв =	2v0sinα0		= 2t			под ,		(5.22)

	g

максимальную высоту подъёма

				v2sin2 α			0
ymax = H =					0		0		,			(5.23)
ymax = H =						2g			,			(5.23)
						2g
максимальную дальность полёта
			v2			sin 2α		0
xmax = L =					0			0		,		(5.24)
xmax = L =						g				,		(5.24)
						g
уравнение траектории
y(x)= tgα		x −				g					x2	(5.25)
y(x)= tgα	0	x −									x2	(5.25)
	0				2v02cos2α0

(траекторией материальной точки является парабола, представленная на рис.5.2),

зависимость проекции скорости на ось Oу от высоты h: при подъёме

vy	=	v02sin2 α0	− 2gh,	(5.26)
при спуске
vy	= −	v02sin2 α0	− 2gh;	(5.27)
модуля скорости от высоты
	v = v02 − 2gh.			(5.28)

Используя равенство (3.9), на любой высоте (h ≤ H) можно определить радиус кривизны траектории:

		(v02	3
Rкр	=		− 2gh)2	(5.29)
			.
		gv0cosα0

При выборе другой системы координат, отличающейся от системы, показанной на рис.5.2, уравнения (5.11) — (5.16) не изменятся, а некоторые (или все) уравнения (5.17) — (5.20) изменятся. Например, если ось Оy будет направлена вертикально вниз, то изменятся уравнения (5.18) и (5.20), поскольку в этом случае gy = g.

			§6. Движение с переменным ускорением
ем:	Пусть материальная точка движется с переменным ускорени-
					a ≠ const,		(6.1)

при этом нормальное и тангенциальное ускорения могут изменяться
(по отдельности или вместе) как по модулю, так и по направлению.
	Траектория при таком движении может быть как прямолиней-
ной, так и криволинейной.
	На рис.6.1 представлен график некоторой зависимости модуля
v					скорости (путевой скорости) от вре-
					мени v(t) при движении материаль-
vi					ной точки с переменными нормаль-
					ным и тангенциальным ускорениями.
					Путь		S в системе координат
			S		vOt равен площади (в единицах пути)
					криволинейной трапеции, ограни-

О					ченной графиком зависимости моду-
	tн	ti	tк	t	ля скорости v(t), осью времени от
		Рис. 6.1			начального		до конечного момента
					времени и отрезками прямых t = tн и

					t = tк (см. рис.6.1).
	Для определения пути S от начального момента времени tн до
конечного момента времени tк весь промежуток времени движения
t разбивают на n промежутков времени							ti, таких малых, что мо-
дуль скорости vi на каждом из них можно считать практически по-
стоянным или изменяющимся незначительно.
	Путь за промежуток времени					t равен пределу суммы произ-
ведений модулей скоростей vi на соответствующие им промежутки
времени ti при их бесконечном уменьшении:

S = lim ∑vi ti . (6.2)

ti →0 i=1

Этот предел суммы называется определённым интегралом (приложение 4) на промежутке времени [tн, tк]:

tк
S = ∫vdt.	(6.3)

tн

Аналогично равенству (6.3) при движении с переменным ускорением за промежуток времени t определяются:

перемещение

tк
r = ∫vdt,	(6.4)
tн
приращение скорости
tк
v = ∫adt.	(6.5)

tн

С учетом равенства (6.3) средняя путевая скорость может быть определена из равенства:

vs	=	1 tк		vs dt,	(6.6)

		t ∫
		t ∫
			tн

с учетом равенства (6.4) средняя скорость — из равенства:

	1	t
v =		∫к	vdt,	(6.7)
	t
		tн

с учетом равенства (6.5) среднее ускорение — из равенства:

	1	t
a =		∫к adt,	(6.8)
	t
		tн

и по аналогии с равенством (6.6) среднее значение модуля скорости

— из равенства:

	1	t
v =		∫к	vdt.	(6.9)
	t
		tн

Источник: https://studfile.net/preview/16708633/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27