Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011

(z

−1)2

+

(z

2

−1)

2

1

= α,

1 δ1

1 δ2

0 ≤ z1 ≤1,

(2.89)

0 ≤ z2 ≤1.

Решение. Решение задачи можно получить одним из методов,

изложенных выше. Однако в данном конкретном случае легко ре-

шить

задачу

графически.

Минимизируемая

функция

z1

+

z2

представляет собой прямую, уравнение связи

S =

a2

a1

ϕ1

ϕ2

между переменными либо эллипс при δ1 ≠ δ2

(рис. 2.8), либо ок-

ружность при

δ

= δ2 ,

область изменения переменных –

квадрат

ODEL.

2,0

Относительный запас реактивности

1,5

1

в первом реакторе Z

1,0

D

M

E

*

z1

'

M1

M10,5

S

S

0,0

O

L

*

0,0

z2

0,5

1,0

1,5

2,0

Относительныйзапасреактивности

вовторомреактореZ2

Рис. 2.8. Решение оптимизационной задачи для системы двух реакторов

с нелинейной зависимостью степени снижения мощности от запаса реактивности

z

(z* −1)

z

2

(z

*

−1)

1

1

+

2

= α.

1 δ1

1

δ2

z1* −1 z*2 −1

=

1

1

,

1

δ

1

δ

2

a

ϕ

a

2

ϕ

2

1

1

1

откуда

z*

−1

δ

a

δ

a

1

1

=

2

2

1

1 =

.

(2.90)

z*

−1

ϕ2

ϕ1

F

2

(z*

−1)2

(z*

−1)

2

1

+

2

= α ,

1 δ

1 δ

2

1

z*

=1 −

1

α

;

1

F

δ2 + δ1 F 2

(2.91)

α

*

z2

=1 −

.

δ2

+ δ1 F

2

z ≥ 0

при α

1

= α ≤ F 2

δ

2

+ δ

1

;

1

z

2

≥ 0 при

α

2

= α ≤ δ

2

+ δ

F 2 .

1

Понятно,

что

z1 ≥ 0

и

z2 ≥ 0

одновременно

при

α = min (α1, α2 ) .

Определим соотношение между α1

и α2 в зависимости от зна-

чения параметра системы F:

α −α

= Δα = F 2

δ

+ δ −

F 2δ

2

+ δ

=

2

2

1

F 2

1

1

(2.92)

(F 2 −1)(F 2δ

+ δ )

=

2

.

1

F 2

Из выражения (2.92) видно, что при F > 1, α1 > α2 . Ограниче-

нием в этом случае является условие α = α

2

, т.е. α ≤ δ

2

+ δ

F 2 :

1

при

F < 1,

α1 > α2

и ограничением

является

условие

α ≤ δ

2

F 2 + δ ;

1

при

F = 1,

α1 = α2

ограничением

является

условие

определенности изображена ситуация, когда

a1

a2

=1,

δ1

= 2 ).

ϕ

ϕ

2

δ

2

1

При α ≤ δ

2

+ δ F 2

точка касания прямой и эллипса M (z* , z* )

1

1

2

z

*

=1 −

1

α

;

1

F

δ2 + δ1

F 2

α

*

2

z

2

=1 −

при

0 < α ≤ δ2 + δ1 F

;

δ

2

+ δ

1

F 2

(2.93)

=1 − α − δ2 ;

*

z

1

δ1

*

= 0

при

δ2 + δ1

F

2

≤ α <1,

z

2

Решением задачи при параметре системы F < 1 будут

1

α

z* =1

−

;

1

F

δ

2

+ δ

F 2

1

α

z* =1

−

при

0 < α ≤ δ

F 2 + δ

;

δ

+ δ

F 2

(2.94)

2

2

2

1

1

z* = 0;

1

z* =1 −

α − δ1

при

δ F 2 + δ

≤ α <1,

2

δ2

2

1

z* > z*

при

F > 1;

1

2

z* < z*

при

F < 1,

1

2

1,5

Относительный запас реактивности

1

D

E

в первом реакторе Z

1,0

F=2

0,5

F=1

F=0.5

0,0

L

O0,0

0,5

1,0

1,5

Относительный запас реактивности

во втором реакторе Z2

Рис. 2.9. Траектории оптимальных распределений запасов реактивности

в системе двух реакторов с нелинейной зависимостью ε( ρ)

ε* = (z* −1)2

и ε*

= (z*

−1)2 .

1

1

2

2

*

1

α

ε1

=

;

F δ2 + δ1 F 2

α

*

F

2

ε

2

=

при

0

< α ≤ δ

2

+ δ

1

;

2

δ2 + δ1

F

α − δ

2

ε1* =

;

δ1

ε*

=

1

при

δ

+ δ

F 2

≤ α <1;

2

1

2