Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011
– риск банковских операций с ценными бумагами, входящими в портфель.
Не вдаваясь в подробности банковских операций, рассмотрим основные характеристики ценных бумаг.
Банковский портфель представляет собой набор активов (пассивов), являющихся титулами собственности или иных благ (акции, валюта, ваучеры, аккредитивы и т.д.).
Ожидаемая доходность банковского портфеля есть взвешенная средняя ожидаемой доходности каждого из активов, входящих в портфель, где весами служат доли инвестиций в каждый из активов от всей суммы, вложенной в портфель:
n |
|
RpT (x1...xn ) = ∑RiTWi ; i =1, n , |
(2.96) |
i=1
где RpT – доходность всего инвестиционного портфеля за период времени T; RiT – доходность единицы i-го актива; Wi – доля инвестиций в i-й актив, от общей суммы инвестирования в портфель,
n
причем ∑Wi =1, xi – количество единиц i-й ценной бумаги.
i=1
Доходность единицы i-го актива за временной промежуток T определяется следующим образом:
RiT = ln (Pi (t) Pi (t −T )) . |
(2.97) |
Как следует из формулы (2.96), доходность инвестиционного портфеля будет зависеть от двух параметров: доходности отдельного актива, входящего в портфель и доли инвестиции в каждый актив.
Объем инвестиций, вложенных в портфель, будет равен сумме произведений стоимости единицы актива на его количество в портфеле:
n
V = ∑Vi xi .
i=1
Объем инвестиций, вложенных в отдельный актив портфеля, будет равен произведению стоимости единицы актива на количество единиц актива в портфеле:
V (xi ) =Vi xi , |
(2.98) |
146
где V(xi) – объем инвестиций, вложенных в i-ю ценную бумагу; Vi – цена единицы i-й ценной бумаги.
Долю инвестиций в каждый актив можно выразить следующим образом:
W = |
V (xi ) |
= |
Vi xi |
. |
(2.99) |
|
|
||||
i |
Vport |
|
Vport |
|
|
|
|
|
|||
Теперь формулу доходности портфеля (2.96) можно переписать в следующем виде:
n |
Vi xi |
|
|
|
RpT (x1...xn ) = ∑RiT |
. |
(2.100) |
||
|
||||
i=1 |
Vport |
|
||
Как уже отмечалось выше, важной характеристикой банковского портфеля является величина риска. Риск потери капитала в связи с неблагоприятной ситуацией, складывающейся на рынке, – один из наиболее актуальных в настоящее время параметров, характеризующих финансовый инструмент.
Одним из важнейших видов рисков является рыночный риск. Рыночный риск представляет собой возможность отрицательного изменения стоимости активов в результате колебания процентных ставок, курсов валют, цен акций, облигаций и товарных контрактов.
В современной теории риск-менеджмента наиболее распространена модель риска под названием value at risk или рисковая стои-
мость – VaR [58].
Концепция VaR призвана дать четкий и однозначный ответ на вопрос, возникающий при проведении операций на финансовых рынках: какой максимальный убыток мы рискуем понести за определенный период времени с заданной вероятностью для данного портфеля?
Из этого следует, что величина VaR для портфеля заданной структуры определяется как наибольший ожидаемый убыток и рассчитывается на определенный период времени в будущем (временной горизонт) с заданной вероятностью непревышения некоторого значения VaR (доверительный интервал) при данном предположении о характере поведения рынка (метод расчета).
Доверительный интервал и временной горизонт являются ключевыми параметрами при расчете величины VaR.
147
Так, значение рисковой стоимости VaR в 10 млн. долл. для временного горизонта в один день и доверительного интервала в 99 % будет означать, что вероятность потери в течение следующих 24 ч меньше 10 млн. долл. составит 99 %; а вероятность убытков, превышающих 10 млн. долл. в течение ближайших суток, равна 1 %;
Причем убытки, превышающие 10 миллионов долларов, ожидаются в среднем один раз в 100 дней торгов.
Таким образом, рисковая стоимость является денежным показателем, отражающим ожидаемые потери с заданной степенью достоверности. Очевидно, рисковая стоимость для i -го актива является разностью между текущим значением цены актива Vi (t) и её
прогнозным значением |
Vi,(1−α) (t + τ) , полученным для |
момента |
(t + τ) с доверительной |
вероятностью (1−α) . Таким |
образом, |
можно записать: |
|
|
VaRi,1−α (t + τ) = V (t) −Vi,(1−α) (t + τ) . |
(2.101) |
|
В настоящее время наибольшее распространение получил ковариационный метод (variance-covariance) расчета величины VaR [19]. В его основе лежит допущение о нормальном законе распределения изменений цен активов, входящих в портфель.
При нормально распределенной случайной величине доверительный интервал (1 – α) всегда характеризуется квантилью (k1−α ) ,
которая показывает положение искомого значения случайной величины относительно среднего, выраженного в количестве среднеквадратичных отклонений этой случайной величины σi от средне-
го значения [19].
Для наиболее часто используемых значений доверительного интервала в 95 и 99 % соответствующие квантили будут равны 1,65 и 2,33 стандартных отклонений.
В случае принятия гипотезы о нормальном законе распределения стоимости i -го актива прогнозируемое значение цены для однодневного временного среза (τ =1) и доверительной вероятности
(1−α) определяется по формуле |
|
Vi,(1−α) (t +1) = V (t) exp(−k1−ασi (t)) . |
(2.102) |
148
Последняя формула записана в предположении, что математическое ожидание однодневных доходностей равно нулю.
Стандартное отклонение σi (t) может быть оценено по ограни-
ченной выборке цен (историческому периоду наблюдений) i -го актива.
Интересующая нас величина VaRi для временного среза в один день и доверительной вероятности (1−α) может быть определена
следующим образом: |
|
VaRi,1−α (t +1) = Vi (t){[exp(−k1−ασi (t))] −1}. |
(2.103) |
При малых значениях величины − k1−ασi (t) |
выражение |
{[exp(−k1−ασi (t))] −1} можно заменить на выражение |
− k1−ασi (t) . |
Эта линейная аппроксимация для малых значений σi(t) основана на разложении исходной функции в ряд Тейлора. Весьма часто знак «–» опускают и оперируют абсолютным значением величины VaR.
В результате для i -го актива, состоящего из нескольких инструментов, величина рисковой стоимости с временным горизонтом в один день и доверительным интервалом (1 – α) может быть рассчитана по формуле:
VaRi = VaRi,1−α (t +1) = Vi (t)k1−ασi (t) ,
где Vi (t) – текущая стоимость позиции i -го актива (произведение
текущей цены на количество единиц актива).
Для рисковой стоимости с временным горизонтом Т дней и доверительным интервалом (1 – α) последняя формула принимает вид
VaRi =VaRi,1−α (t +1) =Vi (t)k1−ασi (t) T , |
(2.104) |
Соответствующая формула для расчета VaR всего банковского портфеля имеет вид
VaR = |
|
тΩ |
|
, |
(2.105) |
IVaR |
IVaR |
где IVaR – вектор столбец индивидуальных рисков позиций; Ω – корреляционная матрица доходностей факторов риска. В развернутом виде формула (2.105) принимает вид
149
n |
n n |
|
VaR = ∑VaRi2 |
+ 2∑ ∑ρijVaRiVaR j , |
(2.106) |
i=1 |
i=1 j=i+1 |
|
где VaRi – рассчитывается по формуле (2.104), а ρij – коэффици-
енты корреляции доходности финансового инструмента, которые рассчитываются следующим образом:
|
|
N N |
|
|
|
|
|
|
|
(σдох )i = |
∑∑Rik2 ; |
i = |
1, n |
, |
|
(2.107) |
|||
|
|
k =1l=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∑Rik R jl |
|
|
|
|
|
|
||
ρij = |
k =1l=1 |
|
; |
i, j = |
|
. |
(2.108) |
||
|
1, n |
||||||||
|
|
||||||||
|
(σдох )i (σдох ) j |
|
|
|
|
|
|
||
В последней формуле Rik , R jl – реализовавшиеся доходности i- ого и j-го финансовых инструментов в моменты наблюдения k и l,
N– число наблюдений.
2.3.2.Постановка задачи формирования портфеля максимальной доходности при фиксированной
величине риска
Один из методов управления рисками – это наложение ограничений (лимитов) на величину риска VaR. При этом участники фондового рынка задаются определенной величиной VaR и стараются так сформировать свой портфель, чтобы его доходность была максимальной.
Учитывая формулу расчета доходности (2.100), запишем критерий, который необходимо максимизировать:
n |
n |
Vi xi |
|
|
J (x1...xn ) = R p (x1...xn ) = ∑ RiWi |
=∑ Ri |
. (2.109) |
||
|
||||
i=1 |
i=1 |
V port |
||
Инвестор, обладая ограниченными средствами, в состоянии инвестировать в рынок объем денежных средств, не превышающий Vport . В результате получаем ограничение:
150