Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		b
□ Вновь рассмотрим случай, когда g x dx 0 и будем считать для
		a
	b
определенности g x 0, т.е. g x dx 0. В силу непрерывности
	a			f x ,	M sup f x .
f x	a,b : что f ,	взяв	m inf	f x ,	M sup f x .	■
			a,b		a,b
					a,b

21.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ

21.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу

Пусть f x интегрируема на a,b , тогда она интегрируема наa, x , где a x b имеет смысл функция

F x x f t dt,

которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Если f x интегрируема на a,b , то F x непрерывна на a,b .

□ Возьмем x a,b , и пусть x x a,b , тогда

	x x	x	x x				x x
F x x		f t dt f t dt		f	t dt F x			f t dt,
	a	a	x				x
поэтому
	F F x x F x				x x	f t dt.
	F F x x F x					f t dt.
					x
Найдем
				x x
		lim F lim			f t dt 0.			■
		x 0	x 0

21.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу


	Теорема.	Если	f x интегрируема на					a,b и		непрерывна в
точке x0 a,b , то F x дифференцируема в точке x0										и
			F x0 f x0 .

□ Нам нужно доказать, что
			lim	F f x .
			x 0 x			0
			x 0 x
		x x				x0	x
	Т.к. F	f t dt, то при		x x0		F		f t	dt,
		x					x0
но
x x
0	f t dt f	x	(по теореме		о	среднем), где				x0 x0 x,
x0
причем при x 0			x0 .
	Т.о.
			lim	F lim f			f x		.	■
			x 0	x	x 0			0
			x 0	x	x 0

21.3. Существование первообразной у непрерывной функции

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке и непрерывна в его внутренних точках, то на этом отрезке существует ее первообразная.

□ Т.к. f x непрерывна на a,b , верхним пределом имеет смысл, а

F x f x ,	x a,b .
Из теоремы следует
		d		d	x
			F x
		dx	F x	dx
					a

то F x интеграл с переменнымF x и есть первообразная, т.к.

■

f t dt f x ,

откуда устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралами

f x dx f t dt C.

Получим формулу дифференцирования по переменному нижнему пределу:

G x				b	t dt,
G x		f			t dt,			a x b,
				x
тогда, согласно тождеству
b				x				b
f t dt						f t dt f t dt ,
a				a				x
имеем
				b
G x				f t dt F x .
				a
Продифференцируем полученное соотношение
	dG			x			dF x		.
									.
			dx					dx
Окончательно
	d		b
	d		f t dt f x .
	dx		f t dt f x .
	dx		x
			x

21.4. Формула Ньютона – Лейбница

Теорема (Основная теорема интегрального исчисления). Если

первообразная непрерывной f x на a,b , то

f x dx b a формула Ньютона – Лейбница.

□ Т.к. F x первообразная для f x и x первообразная для f x , то они отличаются друг от друга на const, т.е.

F x x C,

a x b,

или

f t dt x C,

но при x a	C a ,				поэтому
x									b
f t dt x a , а при x b									f t dt							b a .			■
a									a
Замечание. Для краткости записи часто употребляется обозна-
чение
				x			b b a .
				x			b b a .
Пример. Найдем 1							a
			x2dx.				a
			x2dx.
	0
Решение. x2dx		1		x3	C				F x					1	x3	, поэтому
Решение. x2dx				x3	C				F x						x3	, поэтому
	3												3
	1					1		1		1		1					1
	1							1
	x2dx						x3				1		0					.
	x2dx						x3				1		0					.
	0				3			0	3			3				3
	0							0

22.МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

22.1.Замена переменной

Теорема. Пусть:

1)f x непрерывна на a,b ;

2)t определена и непрерывна вместе со своей производной


t на	, , причем		t , выполняется	неравенство
a t b, тогда,		если 0 , , 0 , ,		a0 0 ,
b0 0 , то

b0 a0

f x dx	0

		f t t dt.
	0

□ Пусть

x первообразная

для f x , x a,b , тогда

для

t , имеет смысл сложная функция

t , которая является

первообразной для

f t t . По формуле Ньютона – Лейбница

имеем

f x dx

b0 a0 ,

t t dt

a .

Правые части этих соотношений равны равны и левые части.

■

Вывод. При замене переменного

x t

определенном

интеграле

x dx

следует всюду

формально

заменить

x на t

соответственным

образом изменить пределы интегрирования.

Пример. Вычислить ex2 xdx.

Решение.

xdx

et dt

2xdx dt

22.2. Интегрирование по частям

Теорема. Если u u x и v v x непрерывны вместе со своими производными на a,b , то

b		b
udv uv	ba	vdu формула интегрирования по частям


a		a
		для определенного интеграла.

Источник: https://studfile.net/preview/16568692/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27