Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

□ Т.к. M 0:

f x

M ,

то

x:

x 1 x0 , 1

x0

и

пусть x

б.м.ф.

при

x x0 ,

тогда

0 и

0

2 0, что x:

M

0

x x

2

,

выполнено неравенство

x

.

0

M

Пусть min 1, 2 , тогда x:

0

x x0

, выполнены

f x

M и

x

M

f x x

f x

x

M

,

а

это

означает,

что

M

lim f

x x

0.

■

x x

0

Следствие. Т.к. любая б.м.ф. ограничена, то из теоремы

вытекает, что произведение двух б.м.ф. есть б.м.ф.

Следствие. Произведение б.м.ф. на число есть б.м.ф.

Теорема.

Частное от деления

б.м.ф.

на функцию, имеющую

отличный от нуля предел, есть б.м.ф.

□ Пусть

lim x 0,

lim f x a 0,

и

x x0

x x0

тогда x

f x может быть представлена как произведение ограни-

ченной функции на б.м.ф.

Покажем,

что

1 f x ограниченная. Возьмем

a

,

тогда

0

x:

0

x x0

выполняется

f x a

,

а

т.к.

f x a

a f x

a

f x

,

то

a

f x

,

т.е.

f x

a

0

1

1

1

M .

■

f x

f x

a

Теорема. Если x б.м.ф.

x 0 , то 1 x б.б.ф. и

наоборот: если f x б.б.ф., то 1

f x б.м.ф.

□ Пусть lim x 0,

x x0

тогда 0

0 x:

0

x x

x

, т.е.

1

1

, т.е.

x

0

M ,

где M 1

, а

это

означает,

что 1 x

б.б.ф.

1

x

Аналогично доказывается обратное утверждение.

■

Замечание. Указанная теорема справедлива и для случая, когда

x .

Пример.

Показать, что

функция f x x 1 2 sin3

1

при

x 1

Решение. Т.к. lim x 1

2

0, то

x

x 1

2

есть

б.м.ф.

при

x 1

x 1. Функция

g x sin

3

1

,

x 1

ограничена

sin3

1

1

x 1

x 1

Теорема. Если

lim f x A,

то f x A x , где x

x x0

б.м.ф.

□ Пусть lim f x A

x x0

f x A

0 0 x: 0

x x0

, т.е.

f x A 0

, а это значит,

что

f x A имеет предел, равный 0,

т.е. является б.м.ф.,

которую

обозначим x

f x A x

или f x A x .

■

Теорема (о пределе промежуточной функции).

Если lim x

A,

lim g x A,

и

x f x

g

x ,

x x0

x x0

то

lim f x A.

x x0

□ Из пределов для x и g x вытекает,

что 0

1, 2

0:

при

x x0

1

и

x x0

2

выполняются неравенства

x A

и

g x A

,

x A

и

g x A

,

т.е.

x A

и g x A .

Пусть min 1, 2 , тогда в x x0

, x0 выполняются оба

неравенства, но т.к. из x f x g x

следует, что

x A f x A g x A,

то f x A

или

f x A

, т.е. lim f x A.

■

x x0