Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

yC1 C2 x2 . x3

3.Системы дифференциальных уравнений.

3.1.Основные понятия и определения.

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую переменную,

разрешенных относительно производных от искомых функций,

называется нормальной.

Если в канонической системе, содержащей производные произвольного порядка

xi(ki ) fi (t, x1, x1,..., x1(k1 1) ,..., xm , xm , xm(km 1) ) ,

принять xi , xi ,..., xiki 1 за новые вспомогательные функции,

то общую каноническую систему (1.2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из

эквивалентную исходному уравнению.

Определение . Решением нормальной системы (1.1) на интервале (a,b) изменения аргумента t называется всякая система n функций

(1.2)

дифференцируемых на интервале a t b , обращающая уравнения системы (1.1) в тождества по t на интервале

(а,b).

Задача Коши для системы (1.1) формулируется так: найти решение (1.2) системы при начальных условиях

(1.3)

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коши). Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

и пусть функции fi (t, x1, x2 ,..., xn ),i 1,2,..., n определены в некоторой (n+1)-мерной области D изменения переменных t, x1, x2 ,..., xn . Если существует окрестность

точки M0 (t0 , x10 , x20 ,..., xn0 ) , в которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют

изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (1.1), удовлетворяющее начальным условиям (1.3).

Определение. Система n функций

xi xi (t,C1,C2 ,..., Cn ),i 1,2,..., n (1.4)

зависящих от t и n производных постоянных C1,C2 ,..., Cn ,

называется общим решением нормальной системы (1.1) в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши, если

1)при любых допустимых значениях C1,C2 ,..., Cn система функций (1.4) обращает уравнения (1.1) в тождества,

2)в области функции (1.4) решают любую

называются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений:

трехмерного пространства, отнесенного к системе

определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку M0 (t0 , x10 , x20 ) . Эта линия через

данную точку M0 (t0 , x10 , x20 ) . Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

3.2. Интегрирование нормальных систем

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной,

x(n) f (t, x, x ,..., x(n 1) ).

Введя новые функции x1 x (t), x2 x(t),..., xn 1 x(n 1) (t) ,

заменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (2.1).

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система n уравнений первого порядка (1.1) эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.