Документ: Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел, страницы 46-50

§ 111	ОБЩАЯ	КАРТИНА ЯВЛЕНИЯ	59

потери	устойчивости, которая представлена для двух чисел
оборотов диска на рис.		19. Как видно, отношение частоты

100

200

300

500

1000

2000

3000

Частота ч/сек

Рис. 19. Анализ частот колебаний в зоне потери устойчивости ламинарного течения вблизи вращающегося диска (по Грегори и Волкеру).

колебаний наибольшей интенсивности к частоте вращения диска равно 25—35, что соответствует сфотографированному числу стоячих волн вихрей (28—31).

60 ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЙ [ГЛ. Ill

В той же работе приводится математический анализ явлений потери устойчивости трехмерного ламинарного тече ния вокруг вращающегося диска.

Рассматривая течение вблизи вращающегося диска, можем учесть, что на малом участке радиуса его можно считать плоским, а основные возмущения — направленными нормально к поверхности. Поэтому для ознакомления с постановкой вопроса и методикой решения задачи об устойчивости лами

нарного течения вблизи	вращающегося диска обратимся
к рассмотрению плоской	задачи.

§ 12. Метод малых колебаний для исследования устойчивости ламинарного течения

Рассмотрим		устойчивое		течение в		пограничном слое
у плоской поверхности, когда составляющая U скорости,
параллельная	плоскости,		зависит		только	от расстояния у
от плоскости	U	U (у),	а	V = 0.	Наложим на это основное

движение малое двухмерное возмущающее движение, так что результирующее движение будет, определяться следующими скоростями и давлением:

u = U-\-u', v=v', р = Р-]-р',

(3.1)

которые должны являться решениями уравнений НавьеСтокса для плоского потока:

ди

.

ди

,

ди

_

+

dt

_L

и---

1_ v

ду

р

dx

1

дх

1

dv

,

dv

,

dv

—

1

др

, .

(3.2)

_ _ _L_

ц----

L

dy

-

йу

4- v Hxv,

dt

dx

1

n

Р

du

,

dv

"dx

~ ’

где

,

cP .

d1

r.

A —-J-

—оператор

Лапласа.

Подставив (3.1) в (3.2) и отбрасывая члены, квадратичные относительно возмущений, получим с учетом того, что исходное движение также удовлетворяет уравнениям НазьеСтокса, следующую систему дифференциальных уравнений

§ 12]

'

МЕТОД МАЛЫХ

КОЛЕБАНИЙ

61

для

определения

возмущений:

ди' .

и^-

dlj

.

1

др’

л

,

1Г-*-

()х

dv'

j

= v Дц',

(3.3)

~дГ

'

дх

Р

ду

ди' .

dv'

__„

~дТ^~~ду~ — U’

Любое возмущение можно путем разложения в ряд Фурье

представить в

виде суммы

относительных волн, распростра

няющихся

в

направлении

движения.

Введя

функцию

тока

<р(.г,

у,

t),

можем

отдельное колебание

представить в

виде

так

что

Ф = ® (у) е*

,

(3.4)

— у' ( v) ei

1

v' —-----= — /а® (у)

.

(3'5)

(«г-ЗО

)

дх

1

~

где

® — <рг—|— Гер; — комплексная

амплитуда, а — действитель

ная величина, связанная с длиной волны X возмущения соот

ношением

Х = —,

(3.6)

а

Р — Pr— комплексная величина, в которой

— круговая

частота

колебаний,

— коэффициент нарастания.

При

< О

колебание затухает, т. е. ламинарное

течение

устойчиво,

при

> 0 — неустойчиво.

Введем

еще величину

с = — = с,.-|-z’Cj,

(3.7)

а.

где сг — скорость распространения волн в направлении движения х. Подставив (3.4) и (3.5) в уравнения (3.3), исклю чив предварительно из первых двух уравнений давление, получим дифференциальное уравнение возмущенного движения

(U — с) (<р"—а2ср) — U"y = — ~ (cpIV — 2a2cp" —a4<p).

Перейдем в этом уравнении к безразмерным величинам, разделив скорости на некоторую максимальную скорость Uu

02 переход Ламинарного Течения в турбулентное [гл. ill

ламинарного течения, а длины — на некоторую характерную длину 8. Тогда получим, обозначая дифференцирование по безразмерной длине у/о штрихами, уравнение

(U _ с) (tp" _ а2(р) —	= _		(?IV _ 2а2?" + а4ср),	(3.8)
t7M8		число Рейнольдса (для безраз
где R = —------ характерное		число Рейнольдса (для безраз
мерных скоростей сохраним		те	же обозначения, что	и для
размерных).

Исследование устойчивости ламинарного движения есть, таким образом, задача о собственных значениях с и соот ветствующих собственных функциях дифференциального уравнения (3.8) при заданных граничных условиях.

Так как из условий опытов известно, что предел устой чивости, при котором Р; = 0 (Ci = 0), лежит при больших значениях чисел Рейнольдса, то можно попытаться для упро щения исследования в первом приближении отбросить малый член в правой части, зависящий от вязкости, т. е. найти так называемую невязкую неустойчивость с помощью дифференциального уравнения

((/ — £)(<?" — а2<р) — (/"<р = 0.	(3.9)
В качестве граничных условий служат условия	непрони

цаемости поверхности, а также соответствующее граничное условие в бесконечности:

0 на стенке и в бесконечности.

(3.10)

§ 13, Вариационный метод решения задачи

Одним из способов, позволяющих легко определить соб ственные значения уравнения (3.9), является вариационный метод. Построим, следуя Стюарту1), соответствующую вариационную задачу.

Обозначив

представим (3.9) в виде

<р"—а2?-|-К(0<р = 0.

(3.11)

1) См. сноску на стр. 19.

§ 13]	ВАРИАЦИОННЫЙ	МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ		63
Умножив	это уравнение	на	ср и проинтегрировав	с уче
том (3.10), получим:
	J" [/< (5)		— с?'2] di
	= ~~-------------- •			(3-12)

0-,

Легко показать, что функция <р, дающая экстремум вели чины а2, является собственной функцией уравнения (3.11). Действительно, величина а2 есть отношение

т. е. ее вариация равна

	оа2 =-\|-(В/1 —а2 о/2),	(3.13)
	*2■	(3.13)
	*2■
	причем
	со
	8/2 = 2 f <f%<? di,	(3.14)
	0

а величина B/t с применением интегрирования по частям равняется

СО

87, = 2 J* (ср/С оср — cpz Sep') (Ц =

0

ОО		ОС
= 2 1"di — 2 [ср'о<р]“-\|- 2 J <р"3<р rit
0		0
т. e. с учетом (3.10)
§Л = 2 f ]/по<р+?"1 di.		(3.15)
0
Подставив (3.13) и (3.14) в	(3.12), получим:
со	— а2<р) Bep di.
За2 — у- У	— а2<р) Bep di.

о

64	переход	Ламинарного течения в турбулентное [гл. ш
Экстремальное		значение а*2 получится при За2 = 0, т. е. при
		<р" -\|- K<f — а2ср = 0.
Таким	образом,	решение вариационной задачи (3.12) является

собственной функцией уравнения (3.11).

§14. Приложение к случаю вращающегося диска

Вслучае вращающегося диска можно представить движе ние в пограничном слое на некотором малом участке радиуса

как плоское движение под некоторым углом наклона г к радиальному направлению х).

Как уже указывалось, определение нейтральных колебаний сводится к определению вещественных (с{ = 0) собственных значений дифференциального уравнения (3.9). Если в качестве характерной максимальной скорости на малом участке радиуса

взять	окружную скорость гог, то безразмерная	скорость U
будет	иметь вид:
	U = F — (1— G)tgs.	(3.16)

Согласно анализу дифференциального уравнения (3.9)2), потеря устойчивости ламинарного течения наступает в случае,

когда нулевое

значение

профиля

скорости

U (?)

совпадает

с точкой

перегиба

профиля

скоростей,

т.

е.

с

точкой,

где

=

Пользуясь известными значениями для F и О,

на

основании

высказанного

положения

легко

найти,

что

г =13° 18'.

Это значение

хорошо

соответствует результатам

экспериментов,

которые дают значение г = 14° (см.

рис.

17).

Определим теперь число волн вихрей. Выберем в ка

честве характерной длины толщину вытеснения

о*,

которая

для

рассматриваемого

случая

равна

(§ 8)

*8=

1,2711/" —.

г

«о

!) Более

подробное

рассмотрение

трехмерного

пограничного

слоя вблизи вращающегося диска, проведенное Стюартом (см. сноску на стр. 19), показывает, что кроме уравнения (3.8) появляется еще одно дифференциальное уравнение для колебатель ных возмущений, направленных перпендикулярно к основному направлению х движения жидкости вблизи диска.

2) Т о 11 m i е п W\,		Ein algemeines	Kriterium der Instabilitat
laminaren	Geschwindigkeitsverteilungen,		Nachr. Ges. Wiss. Gottin
gen, Math.	Phys. Klasse,	Fachgruppe I, 1	(1935).

Материал: Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел

Смотрите также: