Документ: Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел, страницы 36-40

46

ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА

[гл. it

решение которого, по Тириоту, имеет вид:

7]	7]	—
— 4/ —	е-т? —	—
tJ°	о

-4^+2^(1+|) + 4- (2-85)

Составляющая vz находится по уравнению неразрывности

n, =	—	_	71	— 4«)2^	(n)*f .	(2.87)
		V^t	J ft (ij) d~q =
			0
Тириот	находит также второе			приближение,		определяя

Рис. 13. Значения функций /0, /р /р /2 при внезапной остановке (по Тириоту).

Теперь можем для обоих случаев вычислить относитель ные линии тока. Для случая внезапного разгона они

§ 9] ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА При ВНЕЗАПНОМ РАЗГОНЕ 47

Таблица 6

Значения функций /0, /р j\ и / для случая

внезапной остановки вращающегося диска

(по Тириоту)

Z	Л	Л	*	А
	Л	Л	Л	А
0,05	+0,056	—0,0669	—0,0017	—0,0046
0,1	+0,113	—0,1240	—0,0065	—0,0046
0,2	+0,223	-0,2118	-0,0236	—0,0096
0,3	+0,329	-0,2672	—0,0478	—0,0150
0,4	+0,428	—0,2950	—0,0761	—0,0196
0,5	+0,521	—0,3009	—0,1061	-0,0242
0,6	+0,604	—0,2897	-0,1357	—0,0280
0,7	+0,678	—0,2671	—0,1636	—0,0304
0,8	+0,742	—0,2371	—0,1889	—0,0316
0,9	+0,797	-0,2038	-0,2109	—0,0312
1,0	+0,843	—0,1699	—0,2296	—0,0297
1,1	+0,880	-0,1380	-0,2450	-0,0270
1,2	+0,910	-0,1090	—0,2573	—0,0240
1,3	+0,934	—0,0842	—0,2669	—0,0202
1,4	+0,952	—0,0633	—0,2743	—0,0169
1,5	+0,966	-0,0467	—0,2798	—0,0136
1,6	+0,976	—0,0336	—0,2838	—0,0110
1,7	+0,984	—0,0238	-0,2868	—0,0079
1,8	+0,989	-0,0164	—0,2887	—0,0064
1,9	+0,993	—0,0110	—0,2900	—0,0039
2,0	+0,995	—0,0075	—0,2909	—0,0034
2,1	+0,997	—0,0047	—0,2915	—0,0014
2,2	+0,998	-0,0030	—0,2919	-0
2,3	+0,999	—0,0019	-0,2921	—0
2,4	+0,999	-0,0014	—0,2922	—0
2,5	+ 1,000	—0,0008	—0,2923	—0
2,6	+1,000	-0	—0,2923	—0

определяются из дифференциального уравнения

dr _	F	т.	(2.88)
г dy	G — 1

Так как правая часть не	зависит от г, то,		следовательно,

линии тока представляются логарифмическими спиралями

г = ет<е

(2.89)

48 ламинарное течение вокруг диска (гл. II

с коэффициентом наклона т. Значения т, подсчитанные при

ближенно, даны на рис. 14.	При этом для случая т]-> О по
лучается, по Тириоту,	0,72676«Г
F _	0,72676«Г
^G-l— 1+0.23W
Величину т для т; = 0	Тириот определял также экспе

риментально, фотографируя линии тока с использованием кристалликов красящего вещества. Опытные значения т при

Рис. 14.		Коэффициент наклона т относительных линий тока при внезапном
		разгоне (по Тириоту).
т) = 0	хорошо согласуются с вычисленными		значениями
(рис.	14).	При больших значениях t величина	т для ц = О

приближается к значению, полученному для стационарного движения диска в неподвижной среде (рис. 15).

Аналогично вычисляются значения т для случая внезап

ной остановки

F т==-^.

(j

При т[ — 0 получается

_ 1,2372иГ т~ 1 — 0.045836 (utj’- •

Рис. 15. Значения коэффициента наклона т относительных линий тока для стационарного движения диска в неподвижной среде.

Рис. 16. Коэффициент наклона т относительных линий тока при внезапной остановке (по Тириоту).

4 Зак. 944. Л. А. Дорфман

50	Ламинарное	течение	вокруг дискл		{гл. ii
Значения	т приведены	на рис.	16,	где изображены также
опытные	величины для	z — 0. Здесь		соответствие	опытных

и расчетных данных получается хуже, чем в случае внезап ного разгона.

§10. Общий случай неустановившегося движения вязкой жидкости вокруг вращающегося диска

при постепенном разгоне

Вобщем случае разгонного движения жидкости вокруг вращающегося диска граничные условия принимают вид:

,vt. — vs = <d,	v^ = r<o(t) при	2 = 0,	(2.90)
vr = = 0	при	2 = оо,	(2.91)

а начальные условия запишутся в виде

vr — v,f = vz — 0 при t — Q.

(2.92)

Тогда, если ввести подстановки

vr = rf(z, t),

v.f = rg(z, t),

(2.93)

v3 = 2h(z, t),

p=^p{z, t),

то система уравнений (1.1), (1.2) примет вид:

дг2	— 2Л — — f2 -4- я2 — —
дг2		дг	’	*8	dt>
	дг2		дг	JS	dt

d2h oi.dhdh 1 др

(2.94)

’fc>-2E*-3<=2F51 ’

?+/ = »■

дг 1 J

Граничные и начальные условия представляются в виде

f=g = h = Q	при	t — 0,	1
f—h — Q, g = u>(t)	при	2 = 0,	} (2.95)
f—	при	2 = 00.	J

§ 10)	Течений при	постепенном разгоиё		51
Для решений	поставленной	задачи	Д. Е. Долидзе’)	находит
вначале решение уравнения
	ч	_ dg0
	dz‘‘ — dt		'

удовлетворяющее предельным условиям (2.95) для g. Это

решение,

как

легко

проверить,

имеет вид:

t

/

г2 \ о> (т) di

г

/*

7

£ХР (

4v(<-г))

1’

°

(<~^)2

Затем

вводится функция

Н(г,

. ..

1

Г

(z — С>®1 .

С, t) — —==• exp

— —гт-

+

2/^f

*L

4v/

J'

t

V \

Г

1

.

z Г

I'

г"-

dt

’

4nv

J exP\

-4ч/

)exP[

4v(Z—t) J j/"T (f — t)

которая при z #= С удовлетворяет уравнению

и обращается в нуль при t — 0,		а также	равна нулю для
t > 0 и 2 = 0	или z — оо.
С помощью	функций Н и gp,	как нетрудно проверить,
можно искомые	функции f и g представить		в виде

t оо

7(2, t) = f dz f (2>i^+f-g^H(z, С, Z-T)d:,

об’

t оо

g (z, t) = gp (z, t) + f dzf (2Л If -J- 2fg) H(z,r,t-z) dZ,

6 о

(2.96)

,!) Д о л и д з e Д. E., Неустановившееся движение вязкой жид

кости, создаваемое вращающимся диском, Прикл. матем. и мех.,

т. XVIII, вып. 3, 1954.

4*

52			ламинарной тёййниё		вокруг дискА				[гл. if
Для решения полученной системы интегродифференциаль-
ных уравнений вводятся новые функции:
				4-=--f+g,		tv = f—g.
Сложением и вычитанием уравнений (2.96) получаем:
u(z, t) = g0(z, 0 +
t		оо
+ fdz		^2/z^4-zzw + y tiz — ^-'Wi'}H(z,						t — xjd'',,
0	0
W(z, /) = —g0O> t) 4-
t		co		— у u~--[-^-‘W2'}li(z, C, t — т) z/'.
4- I dz j"				— у u~--[-^-‘W2'}li(z, C, t — т) z/'.
ио
									(2.97)
Продифференцировав по z, отсюда получим:
ди	dg0	, Г ,["(с,, ди .			.	1 о	1	,\ дН	,
д~г =	1£+]		dzJ		+		-2
		О	6
			t	co
			о	о
									(2.98)
Таким образом, получается система						(2.97),	(2.98) интеграль-
пых уравнений для				неизвестных	и,	да	ды	п	этом,
пых уравнений для				неизвестных	и,	tv,		При	этом,

согласно последнему уравнению системы (2.94), h опре деляется из равенства

Z	(2.99)
h —— i (zz + w) dz.

о'

Решением полученной системы определяем /, g, h, а за тем из третьего уравнения (2.94) находим давление р.

Систему интегродифференциальных уравнений (2.97), (2.98). можно решать методом последовательных приближений.

Материал: Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел

Смотрите также: