Материал: Экономико-математические методы и модели. Гасилов В.В., Околелова Э.Ю

3) интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

В теории игр предполагается, что каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий при отсутствии информации о принятых стратегиях всех остальных игроков и в соответствии с этим определяет свое поведение.

Формализация содержательного описания конфликта представляет собой его экономическую модель, которая называется игрой.

Теория игр — это математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников. Интересы участников могут быть как антагонистические (полностью противоположные), так и неантагонистические (игры с природой).

Игра — это упрощенная формализованная модель реальной ситуации, описывающая действия двух или более участников. Предполагается,что известны варианты действий сторон (стратегии), исход игры для каждого участника в случае выбора конкретных действий всеми участниками, степень и порядок информированности каждого участника игры о поведении всех других участников. Приведем некоторую классификацию игр в зависимости от различных параметров.

Количество игроков. Различаются игры двух лиц (2 участника игры) и игры плиц (число участников более 2).

Количество стратегий. Если каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий в игре, то игра называется конечной. Есличисло стратегий хотя бы одного из участников игры бесконечно, то играназывается бесконечной.

Соотношение интересов участников. Игры с нулевой суммой — сумма выигрышей участников всегда равна нулю (антагонистические интересы — антагонистические игры). Игры с ненулевой суммой, когда сумма выигрышей участников отлична от нуля.

Возможности взаимодействия участников. С этой точки зрения можно рассматривать коалиционные (допускается образование коалиций между участниками), бескоалиционные (коалиции не допускаются) и кооперативные игры (коалиции определены заранее).

Тип функции выигрыша. По данному критерию традиционно рассматриваются такие классы игр, как матричные (игра 2-х лиц, выигрыш одного изигроков (соответственно проигрыш другого) задается в виде матрицы), биматричные (игра 2-х лиц, выигрыш каждого из игроков задается своей матрицей), непрерывные (функция выигрышей является непрерывной функцией на множестве стратегий каждого из игроков), выпуклые (функциявыигрышей есть выпуклая функция на множестве стратегий).

Количество ходов. Если после одного хода каждого игрока игра заканчивается и происходит распределение выигрышей, то игра называется одно-

81

шаговой. В противном случае игра называется многошаговой (позиционной, например шахматы).

Кроме этого выделяются различные классы игр по иным признакам(статистические, дифференциальные и многие другие). В частности, рассматриваются так называемые «игры с природой», т.е. игры, когда в качестве второго игрока выступает не игрок с противоположными интересами, а некоторая сторона с «неопределенными» интересами (природа). В этом случае для поиска оптимальных стратегий используются наряду с принципом гарантированного результата и другие критерии, например Максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, которые рассматриваются далее.

5.2. Игры с нулевой суммой

Игра двух лиц с нулевой суммой задается следующими условиями:

-имеются два игрока, стратегии одного из которых расположены по строкам (первый игрок), а другого по столбцам (второй игрок) (табл.5.1);

-каждый игрок выбирает одну из своих стратегий независимо от другого: первый одну изтстратегий, второй одну изп;

-если первый игрок выбирает стратегию i, а второй стратегию j, то пер-

вый игрок получает выигрыш aij, который интерпретируется как платеж от второго игрока.

Такая игра называется игрой двух лиц с нулевой суммой и представляется в виде матрицы игры (табл. 5.1), которая содержит выигрыши первого игрока (или, как отмечалось, проигрыши второго игрока).

В табл. 5.2 приведена некоторая конкретная матрица игры, согласно которой выигрыш первого игрока составит 2 единицы (табл. 5.2), если первый игрок выберет свою вторую стратегию, а второй игрок свою первую стратегию.

82

В игре с нулевой суммой сумма выигрышей игроков всегда равна нулю. Как уже отмечалось, плательщиком выигрыша первого игрока является второй игрок. Таким образом, какая-либо кооперация между ниминевозможна.

5.3. Решение игры в чистых стратегиях

Предполагается, что каждый из игроков знает стратегию своего противника и платежную матрицу игры. Рассмотрим с этой точки зрения некоторую конкретную игру (табл. 5.3).

Как должен играть первый игрок? Если первый игрок выберет свою первую стратегию, то второй игрок, очевидно, выберет первую или вторую, поскольку в этом случае его потери будут минимальными - 4 единицы. Значение «4» является минимальным в первой строке. Рассуждая аналогично, легко видеть, что если первый игрок выбирает свою вторую стратегию, то второй игрок выбирает 3-ю, проигрывая при этом 1. Если первый игрок выбирает стратегию 3, то второй стратегию 2 с проигрышем 5. В крайнем правом столбце табл. 5.3 записаны минимумы по строкам. Логично предположить, что первый игрок будет выбирать стратегию, обеспечивающую ему выигрыш максимального из этих значений.

Мы доказали, что первый игрок может гарантированно выиграть, по крайней мере, 5 единиц. Он понимает, что на большее он рассчитывать неможет, так как, выбирая стратегию 2, второй игрок обеспечивает выигрыш первого не более 5.

Матрица удовлетворяет условию седловой точки в том случае, если

83

max (минимумыпострокам)=min (максимум по столбцам) или

Если выполнено условие (5.1), то игра имеет седловую точку.

Если игра имеет седловую точку, то первый игрок может выбирать любую стратегию, для которой реализуется максимум в левой части соотношения (5.1) (максиминная стратегия), а второй игрок может выбрать любую стратегию, на которой реализуется минимум в правой части соотношения (5.1) (минимаксная стратегия).

Если игра имеет седловую точку, то общее значение v, которое достигается слева и справа в соотношении (5.1), называется ценой игры.

Седловая точка может рассматриваться как точка равновесия в том смысле, что отклонение от нее для каждого из игроков невыгодно. Действительно, в нашем примере если первый игрок сменит свою оптимальную стратегию 2 на 1 или 3, то выигры ш первого (соответственно проигрыш второго) увеличится.

В итоге будет разумно ожидать, что в описанной выше игре противники будут придерживаться избранных стратегий. Матричная антагонистическая игра, для которой max min aij = min max aij , называется вполне определенной, или игрой, имеющей решение в чистых стратегиях.

5.4. Решение игры в смешанных стратегиях

Далеко не все матричные антагонистические игры являются вполне определенными, и в общем случае игры, в которых не выполняется строгое неравенство для нижней и верхней цены игры, называются не полностью определенными играми (или не имеющими решения в чистых стратегиях

играми). Следующая матрица представляет пример подобной игры:

Для этой игры max min aij = -2 < 4 = min max aij. В результате, если иг-

роки будут следовать предложенным выше правилам, то Игрок 1 выберет стратегию 1 и будет ожидать, что Игрок 2 выберет стратегию 2, при которой проигрыш равен -2, в то время как Игрок 2 изберет стратегию 3 и будет ожидать, что Игрок 1 выберет стратегию 2 с выигрышем, равным 4. Однако если Игрок 2 выберет свою третью стратегию, то Игрок 1 поступит правильнее, выбирая вторую, а не первую стратегию. Аналогично, если Игрок 1 выберет первую стратегию, то Игроку 2 выгоднее выбрать вторую стратегию, а не третью. По всей видимости, в играх такого типа принцип решения в чистых стратегиях оказывается непригодным.

В описанной ситуации игрокам становится важно, чтобы противник не угадал, какую стратегию он будет использовать. Для осуществления этого плана игрокам следует пользоваться так называемой смешанной стратегией. По существу смешанная стратегия игрока представляет собой правило случайного выбора чистой стратегии. Математически его можно представить как вероятностное распределение на множестве чистых стратегий данного игрока.

Мы будем предполагать использование игроками их смешанных стратегий независимым, так что вероятность, с которой Игрок 1 выбирает i-ую стратегию, а Игрок 2 – j-ую, равна xi yj. В этом случае платеж равен aij.

Для случая игры со смешанными стратегиями платежная матрица принимает следующий вид (табл. 5.4).

Таблица 5.4

Платежная матрица

Подход к определению решения игры при смешанных стратегиях также основывается на критерии минимакса. Единственная разница заключается в том, что первый игрок выбирает хi так, чтобы максимизировать наименьший ожидаемый выигрыш по столбцам, тогда как второйигрок выбирает yj с целью минимизировать наибольший ожидаемый проигрыш по строкам. Математически критерий минимакса при смешанных стратегиях может быть описан следующим образом. Первый игрок выбирает стратегию, обеспечивающую

m

maxxi minj ∑i=1 aij xi ,

85