Наилучшие работы в области исследования операций основаны на совместном применении аналитических и статистических моделей. Аналитическая модель дает возможность в общих чертах разобраться в явлении, наметить как бы контур основных закономерностей. Любые уточнения могут быть получены с помощью статистических моделей.
Имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки принимать те или другие решения подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время.
Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т.д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучивается принимать правильные решения – если не оптимальные, то почти оптимальные.
В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так, существуют различные трактовки:
1)под имитационной моделью понимается математическая модель в классическом смысле;
2)этот термин сохраняется лишь за теми моделями, в которых тем или иным способом разыгрываются (имитируются) случайные воздействия;
3)предполагают, что имитационная модель отличается от обычной математической более детальным описанием, но критерий, по которому можно сказать, когда кончается математическая модель и начинается имитационная, не вводится.
6.1. Метод Монте-Карло
Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method» [21]. Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В
СССР первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955— 1956 гг.
Любопытно, что теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти
111
сколько-нибудь широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную - очень трудоемкая работа.
Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.
Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами.
Идея метода чрезвычайно проста, и состоит она в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. Если таких реализаций получено много, это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики.
После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас».
Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, где участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены, а процесс явно немарковский, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).
В сущности, методом Монте-Карло может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания.
Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного попадания равную 1 — (1/2)3 = 7/8. Ту же задачу можно решить и «розыгрышем», статистическим моделированием. Вместо «трех выстрелов» будем бросать «три монеты», считая, скажем, орел—за «попадание», решку — за «промах». Опыт считается «удачным», если хотя бы на одной из монет выпадет орел. Произведем очень много опытов, подсчитаем общее количество «удач» и разделим на число N произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности.
112
Метод Монте-Карло - это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.
Первая особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма.
Вторая особенность метода - погрешность вычислений, как правило, пропорциональна D/N2, где D - некоторая постоянная, N - число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (т. е. объем работы) в 100 раз.
Ясно, что добиться высокой точности таким путем невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью (5-10%).
Вопросы и задания
1.Приведите примеры задач, которые могут быть решены методами имитационного моделирования.
2.Чем отличается метод Монте-Карло от аналитического описания процесса?
3.Как определяется математическое ожидание случайной величины?
4.Что такое дисперсия случайной величины?
7. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания [1, 6].
С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.
Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслу-
113
живание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
•посты технического обслуживания автомобилей;
•посты ремонта автомобилей;
•персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
•станции технического обслуживания автомобилей;
•аудиторские фирмы;
•отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
•телефонные станции и т. д.
Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:
•входной поток поступающих требований или заявок на обслужи-
вание;
•дисциплина очереди;
•механизм обслуживания.
Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.
Дисциплина очереди — это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
•первым пришел — первый обслуживаешься;
•пришел последним — обслуживаешься первым;
•случайный отбор заявок;
•отбор заявок по критерию приоритетности;
•ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой про-
цедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры
114
обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».
Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.
Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно кон-
статировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:
•вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
•вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
•конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
•количеством и производительностью обслуживающих каналов;
•дисциплиной очереди;
•мощностью источника требований.
В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:
•вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
•вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
•относительная и абсолютная пропускная способность системы;
•средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
•среднее время ожидания в очереди;
•средняя длина очереди;
115