Материал: Экономико-математические методы и модели. Гасилов В.В., Околелова Э.Ю

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

0

0.21

0.6

1

Y

-180

-250

-310

-340

-360

-415

-425

-430

-530

Х1

-580

Х2

Рис. 5.3. Геометрическая интерпретация решения

3. Критерий Сэвиджа (критерий минимакса риска). Суть критерия состоит в выборе такого решения, при котором минимизируются потери из-за ошибочных решений. Для этого строится матрица рисков по условию:

rij = max aij −aij.

(5.13)

i

 

В нашем случае матрица рисков имеет вид

 

 

0

190

 

 

 

70

85

 

 

 

 

r

= 130

75

.

ij

 

 

90

 

 

180

 

 

 

400

75

 

Затем определяют

 

 

 

 

 

 

Y = max min rij = min(190;85;130;180;400) =85.

i

j

i

Таким образом, согласно критерию Сэвиджа, оптимальной является 2-я стратегия (послать на ЖБИ свой транспорт).

101

5.10. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Рассмотрим игру, платежная матрица которой имеет размерность

a

11

a

12

a

1n

 

 

 

 

 

a

21 a22

a2n

 

A=

:

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1 am1

amn

Матрица не содержит седловой точки, поэтому решение игры представлено в смешанных стратегиях:

x = (x1,x2 , xm );

Y = (Y1,Y2 , Yn ).

При оптимальной стратегии игрока А выполняется условие:

m

∑aij × x j ≥ V; j =1, m, (5.14)

i=1

n

∑aij × yj ≥ V; j =1, m. (5.15)

j=1

Можно рассмотреть задачу оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место следующие ограничения:

a11 ×x1 + a21 × x2 + am1 × xm ≥ V,

 

 

 

×x1

+ a22 ×x2

+ am2 ×xm ≥ V,

 

a12

(5.16)

 

:

 

 

:

 

 

 

 

 

 

×x1

+ a2n ×x2

+ amn × xm ≥ V.

 

a1n

 

Величина V (цена игры) неизвестна, но можно считать V > 0, имея в виду, что элементы ма трицы А неотрицательны. Этого всегда можно добиться, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число. Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенства на величину V. В результате получим

a11 × t1 + a21 × t2 + am1 × tm ≥1,

 

 

× t1 + a22 × t2 + am2 × tm ≥1,

 

a12

(5.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× t1 + a2n × t2 + amn × tm ≥1,

 

a1n

 

где ti = xi / V; i =1,m.

Из условия x1 + x2 + + xm =1 следует,

что t1 + t2 + + tm =1/ V.

102

Решение игры должно максимизировать значение V, следовательно, функция

m

Z = ∑ti

i=1

должна принимать минимальное значение. Таким образом, получена задача линейного программирования:

m

Z = ∑ti → min . (5.18)

i=1

при ограничениях типа (5.15) и условиях неотрицательности:

ti ≥ 0; i =1, m.

Решая ее, находим значение ti и величину 1/V, затем определяем значе-

ния

xi = V ×ti .

(5.19)

Для определения стратегии игрока В запишем следующие условия:

a

11

× y

+ a

12

× y

2

+ + a

1n

× y

n

≤ V,

 

1

 

 

 

 

 

a

21 × y1 + a22 × y2 + + a2n × yn ≤ V,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× y1 + am2 × y2 + + amn × yn ≤ V.

am1

Разделив все члены неравенства на V, получим

a

n

×U

1

+ a

×U

2

+ + a

×U

n

≤V ,

 

 

12

 

1n

 

 

a21 ×U1 + a22 ×U

2 + + a2n ×Un ≤V ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1 ×U1 + am 2 ×U2 + + amn ×Un ≤V ,

где U j = Yj / V; j =1,n.

(5.20)

(5.21)

Переменные Uj должны быть определены таким образом, чтобы выполнялось условие (5.19) и достигался максимум функции

n

W = ∑U j → max. (5.22)

j=1

Таким образом получим пару симметричных двойственных задач линейного программирования. Используя свойство симметричности, можно решить одну из них, а решение второй найти на основании оптимального плана двойственной задачи.

103

5.11. Решение игры с применением процессора электронных таблиц

EXCEL

Процессор электронных таблиц EXCEL позволяет выполнять решение задач линейного и нелинейного программирования. Для решения таких задач в пункте основного меню анализ полученного решения позволяет сделать следующие выводы.

С помощью моделей матричных игр решается задача выбора из конкурирующих вариантов оптимального для каждого из игроков. Ситуация с множеством вариантов (альтернатив) достижения единого для всех сторон целевого эффекта наблюдается при выборе заказчиком (инвестором) и подрядчиком вариантов реализации инвестиционного проекта. Возникает задача отбора из конкурирующих методов одного, оптимального для двух сторон (игроков).

Рассмотрим пример выбора оптимального варианта реализации инвестиционного проекта. Примем за целевой эффект получение требуемой надежности реализации проекта.

Заказчик (игрок А) имеет 4 возможных метода получения целевого эффекта (4 чистых стратегии):

1) снижение стоимости реализации проекта;

2) повышение научно-технического уровня проекта;

3) приглашение к участию в проекте других инвесторов;

4) поэтапную реализацию проекта.

У подрядчика (игрок В) две чистые стратегии:

5) привлечение субподрядчиков к работе над проектом; 6) получение кредитов под модернизацию и расширение производства.

Предполагается идентичность методов и средств в том смысле, что реализация каждого из них обеспечивает достижение целевого эффекта - заданной надежности проекта. Однако получаемый при разных методах экономический эффект различен, что связано с неодинаковыми затратами на реализацию проекта.

Представим условия игры в виде матрицы игры (платежной матрицы), представленной в табл. 5.8.

Таблица 5.8

Платежная матрица

Чистая стратегия

 

 

Игрок В

 

 

 

 

 

5

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Игрок А

 

I

-20

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

II

-10

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

III

10

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

IV

9

 

8

 

 

 

 

 

 

104

Для поиска оптимальной пары стратегий игроков необходимо применить максиминную стратегию для заказчика, гарантирующую для него выигрыш не меньше некоторого значения, называемого ценой игры:

max min aij = max(− 20;−10;10;8)=10 .

i

j

i

Оптимальной для заказчика будет стратегия III - приглашение к участию в проекте других инвесторов.

Для подрядчика оптимальной будет минимаксная стратегия, для которой проигрыш будет не больше некоторого значения, называемого верхней ценой игры:

maxi minj aij = maxi (10;30)=10.

Оптимальной для подрядчика будет V-я стратегия.

Поскольку платежная матрица имеет седловую точку, игра решается в чистых стратегиях. В этом случае заказчик всегда должен применять свою III чистую стратегию, т.е. приглашать к участию в проекте других инвесторов. В свою очередь подрядчик должен всегда применять свою V-ю чистую стратегию, т.е. привлекать субподрядчиков к работе над проектом.

Не всегда решение игры можно найти в чистых стратегиях. Например, для тех же условий, что и принятые выше, платежная матрица имеет вид, представленный в табл. 5.9.

Таблица 5.9 Платежная матрица игры в смешанных стратегиях

Чистая стратегия

 

Подрядчик

 

 

5

 

6

Игрок А

I

-20

 

20

 

II

-10

 

30

 

III

10

 

20

 

IV

15

 

8

Максиминная стратегия заказчика:

max min aij

= max(− 20;−10;10;8)=10 .

i

j

i

Минимаксная стратегия подрядчика:

max min aij = max(15;30)=15.

i

j

i

Отсюда 10<15 и, следовательно, решение игры не определяется в чистых стратегиях. Для решения игры в смешанных стратегиях необходимо определить вероятности, с которыми игроки А и В должны применять свои чистые стратегии. В этом случае возможно сведение игры к задаче линейного программирования. Для матрицы игры, представленной в виде

105

Источник: https://studfile.net/preview/16565623/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1