Материал: Экономико-математические методы и модели. Гасилов В.В., Околелова Э.Ю

составим систему ограничений:

где xi - вероятности, с которыми заказчик применяет свои чистые стратегии;

V - цена игры.

После деления всех ограничений на V получим

где ti=xi/V; i=1,m.

Из условия x1 + x2 + ... + xm = 1 следует:

t1 + t2 + ... +tm = 1/V.

Поскольку решение должно максимизировать величину выигрыша V необходимо минимизировать функционал:

при ограничениях:

-20×t1 -10×t2+ 10×t3+15×t4 ≥ 1, 20×t1+30×t2+ 20×t3+8×t4 ≥ 1.

Cимплекс-матрица для решения задачи на ЭВМ имеет вид, представленный в табл. 5.10.

В результате решения задачи значение целевой функции: 0,077. Значение искомых переменных:

t1=0; t2=0; t3=0,028; t4=0,049.

Поскольку значение целевой функции F=1/V=0,077, цена игры

V=1/0,077=13.

x3=V×t3=0,028 ×13=0,36; x4=V× t4=0,049 ×13=0,64; x3+x4=0,36+0,64=1.

Таким образом, игрок А с вероятностью 0,36 применяет свою III-ю стратегию и с вероятностью 0,64 - IV-ю стратегию, рекомендующую повышение научно-технического уровня проекта. Стратегия I и II являются пассивными (вероятность их применения равна нулю).

Для определения оптимальных смешанных стратегий подрядчика сформулируем следующую задачу линейного программирования:

найти максимум целевой функции:

где U=yj /V; yj- вероятности, с которыми подрядчик применяет свои чистые стратегии; V - цена игры.

В нашем примере необходимо решить задачу линейного программирования:

U1 + U2 → max: -20 + 20 ≤ 1,

-10 + 30 ≤ 1, 10 + 20 ≤ 1, 15 + 8 ≤ 1.

Получим симплекс-матрицу, записанную в табл. 5.11.

107

В решении задачи получим значение целевой функции: 0,077 (так же, как и для двойственной задачи).

Значения искомых переменных:

U1=0,053, U2=0,0244.

Значение целевой функции W=1/V=13. Значения вероятностей: y1=V×U1=0,053×13=0,69; y2=V×U2=0,024×13=0,31;

y1+y2=0,69+0,31=1.

Подрядчик с вероятностью 0,69 применяет свою I-ю стратегию, т.е. привлекает субподрядчиков к работе над проектом; и с вероятностью 0,31 - II-ю стратегию, рекомендующую ему получение кредитов под модернизацию и расширение производства.

5.12. Определение победителя подрядных торгов с применением теории игр

Во многих задачах неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляются действия. Эти действия зависят от объективной действительности, которую принято называть природой. Человек (А) в играх с природой старается действовать, осмотрительно используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.

Второй игрок В (природа) действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как ее состояния (например, условия погоды или спрос на продукцию и т.д.).

В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других оно известно. Условия игры задаются в виде матрицы

Элемент аij равен выигрышу игрока А, если он использует стратегию Аi, а состояние природы - Рj.

При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша. Если вопрос распределения вероятностей состояний природы не решен, то используют следующие критерии.

108

1. Максимальный критерий Вальда, при котором выбирается страте-

гия, гарантирующая выигрыш не меньше

max min aij .

i j

2. Критерий минимального риска Севиджа, рекомендующий выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации:

min max Zij ,

i j

где Zij = bj - aij; bj = max aij .

i

Реализацию методов теории игр рассмотрим на следующем примере. Возможно участие в строительстве 4-х предприятий, участвующих в торгах - А1, А2, А3, А4. Эффективность предложений (оферт) каждого из предприятий зависит от различных факторов: стоимости строительства, сроков выполнения работ, качества строительства и т.д.

Предположим, что выделено 4 состояния, каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность реализации инвестиционного проекта (темпы инфляции, климатические условия).

Состояния природы обозначим через Р1, Р2, Р3, Р4.

Экономическая эффективность проекта в зависимости от состояний природы задана матрицей

Согласно критерию Вальда

max min aij = max(2,2,3,1) = 3.

i j

По критерию Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков:

где rij = max aij − aij; j =1, n .

i

Согласно критерию Сэвиджа определяем

Согласно этому критерию также предполагается объявить победителем 3-е предприятие.

Для заданного распределения вероятностей природы:

0,25; 0,25; 0,25; 0,25;

получим: max aij × Pj = (4,75; 5,25; 6,25; 3,75) = 6,25.

Оптимальной также является 3-я стратегия, т.е. заключение контракта на реализацию проекта с 3-им предприятием.

Вопросы и задания

1.Дайте определение матричной игры. Какие виды матричных игр вы

знаете?

2.Приведите примеры игр в чистых и смешанных стратегиях.

3.Определите седловую точку для игры, заданной платежной матри-

цей

4. Найдите решение матричной игры по критерию Вальда. Матрица выигрыша задана

6. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Висследовании операций широко применяются как аналитические, так

истатистические модели. Каждый из этих типов имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-то допущений и упрощений. Зато результаты расчета по ним отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. А главное – аналитические модели больше приспособлены для поиска оптимальных решений [5, 6].

Статистические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (в теории – неограниченно большое) число факторов. Но и у них свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное – крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходятся искать путем догадок и проб.

110