Материал: Гидравлика. курс лекций. Бородкин В.В

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от до получаем:

, (11.14)

Среднюю по сечению скорость найдем делением расхода на площадь. С учетом выражения (11.14) получим:

. (11.15)

Cравнениe этого выражения с формулой (11.11) показывает, что средняя скорость пpи ламинарном течении в 2 pаза меньше максимальной: .

Для получения закона сопротивления, т.е. выражения потери напора на трение через расход и размеры трубы, определим из формулы (11.14):

. (11.16)

Разделив это выражение на , заменив на и на , а так же перейдя от к , найдем:

. (11.17)

Полученный зaкон сопротивления показывает, что при ламинарном течении в трубе круглого сечения потеря напора на трение пропорциональна расходу и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени. Этот закон, обычно называемый законом Пуазейля, который впервые получил его экспериментальным путем, используется для расчета трубопроводов с ламинарным течением.

Преобразуем выражение (11.17) с учетом уравнения (11.15) следующим образом:

, (11.18)

или, обозначая - коэффициент потерь на трение для ламинарного течения, окончательно получим:

. (11.19)

Формула (11.19) носит название формулы Дарси-Вейсбаха и выражает закон сопротивления трения по длине трубопровода при ламинарном течении жидкости. Зная закон распределения скоростей по сечению трубы, легко определить коэффициент Kopиолиса , учитывающий неравномерность распределения скоростей в уравнении Д. Бернулли, для случая стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе. Для этого в выражении (10.7) заменим скорость по формуле (11.10) и среднюю скорость по формуле (11.15), a также учтем, что S = πr²₀ и dS = 2πrdr. Послe подстановок и сокращений получим:

.

Итак, действительно кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в 2 раза превышает кинетическую энергию того же потока, но при равномерном распределении скоростей.

Таким же путём можно показать, что секундное количество движения ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в раз больше количества движения того же потока, но при равномерном распределении скоростей, причем коэффициент , называемый коэффициентом Буссинесска, в данном случае равен 4/3.

Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе подтверждается опытом, и выведенный закон сопротивления обычно не нуждается в каких-либо поправках, за исключением следующих случаев:

1) при течении в начальном участке трубы, где происходит постепенное формирование параболического профиля скоростей;

2) при течении с теплообменом;

3) при течении в капиллярах и зазорах с облитерацией;

4) при течении с большими перепадами давления.

11.2. Течение при больших перепадах давления

Опыт показывает, что при ламинарном течении в зазорах и трубах, происходящем под действием больших перепадов давления (около нескольких десятков МПа), падение напора вдоль потока оказывается существенно нелинейным, т.е. пьезометрическая линия для потока постоянного сечения заметно искривляется, а закон Пуазейля дает значительную погрешность.

Объясняется это тем, что при любом режиме потеря энергии на единицу расхода жидкости растет пропорционально перепаду давления, что влечет за собой нагревание жидкости при больших перепадах давления и уменьшение ее вязкости. С другой стороны, так как вязкость жидкости возрастает с yвеличением давления, в начале потока она будет повышенной, а вдоль потока будет уменьшаться вследствие падения давления. Таким образом, вязкость переменна вдоль потока, и, как результат одновременного действия на нее температуры и давления, продольный градиент давления dp/dx, обусловленный трением, оказывается в начале потока больше, а в конце потока меньше, чем то следует из закона Пуазейля. Что касается расхода, то повышение температуры уменьшает вязкость и, следовательно, способствует увеличению расхода, а высокое давление в жидкости повышает вязкость и уменьшает расход по сравнению с его значением по Пуазейлю при том же перепаде давления, т.е. влияние этих двух факторов на расход является противоположным.

С описанным видом ламинарного течения приходится сталкиваться особенно часто в высоконапорных гидромашинах, где под действием больших перепадов давления происходит перетекание вязкой жидкости через малые зазоры.

12. Лекция №12

12.1. Потери напора при турбулентном течении в гидравлически гладких круглых трубах

Для практических расчетов, связанных с турбулентным течением жидкостей в трубах, пользуются экспериментальными данными, систематизированными на основе теории гидродинамического подобия. Основной расчетной формулой для расчета потерь напора при турбулентном течении в круглых трубах является формула, называемая формулой Дарси- Вейсбаха и имеющая следующий вид

. (12.1)

Эта основная формула применима как при турбулентном, так и при ламинарном течении; различие заключается лишь в значениях коэффициента . Так как при турбулентном течении потеря напора на трение приблизительно пропорциональна скорости (и расходу) во второй степени, коэффициент потерь на трение в формуле в первом приближении для данной трубы можно считать величиной постоянной.

Однако из закона гидродинамического подобия следует, что коэффициент так же, как и , должен быть функцией основного критерия подобия напорных потоков - числа Рейнольдса Re, а также может зависеть от безразмерного геометрического фактора - относительной шероховатости внутренней поверхности трубы, т.е.

, (12.2)

где - средняя высота бугорков шероховатости;

d - диаметр трубы.

Когда шероховатость трубы не влияет на ее сопротивление (на ), трубу называют гидравлически гладкой. Для этих случаев коэффициент является функцией лишь числа Рейнольдса: . Существует ряд эмпирических и полуэмпирических формул, выражающих эту функцию для турбулентного течения в гидравлически гладких трубах; одной из наиболее удобных и употребительных является формула П. К. Конакова:

, (12.3)

применяемая при числе Re от до Re, равного нескольким миллионам.

При 2300 < Re < 10⁵ можно пользоваться также формулой Блазиуса:

. (12.4)

С увеличением Re коэффициент уменьшается, однако это уменьшение гораздо менее значительно, чем при ламинарном течении (рис. 12.1). Это связано с тем, что непосредственное влияние вязкости жидкости на сопротивление в турбулентном потоке гораздо меньше, чем в ламинарном.

Основную роль в образовании потерь энергии при турбулентном течении играют перемешивание и рассеивание кинетической энергии завихренных частиц.

Рис. 12.1. Зависимость и от числа Re

К числу гидравлически гладких труб можно без большой погрешности отнести цельнотянутые трубы из цветных металлов (включая и алюминиевые сплавы), а также высококачественные бесшовные стальные трубы. Таким образом, трубы, употребляемые в качестве топливопроводов и гидросистем, в обычных условиях можно считать гидравлически гладкими и для их расчета пользоваться приведенными формулами. Водопроводные стальные и чугунные трубы гладкими нельзя считать, так как они обычно дают повышенное сопротивление.

12.2. Потери напора при турбулентном течении в шероховатых трубах. График и.И. Никурадзе

Для гидравлически гладких труб коэффициент потерь на трение вполне определяется числом Re. Для шероховатых труб , зависит еще и от шероховатости внутренней поверхности трубы. При этом важен не абсолютный размер бугорков шероховатости, а отношение этого размера к радиусу (или диаметру) трубы, т.е. так называемая относительная шероховатость . Одна и та же абсолютная шероховатость может совершенно не оказывать влияния на сопротивление трубы большого диаметра, но способна значительно увеличить сопротивление трубы малого диаметра. Кроме того, на сопротивление влияет характер шероховатости.

При так называемой равномерно распределенной зернистой шероховатости. В этом случае коэффициент зависит как от Re, так и от отношения (или ):

. (12.5)

Характер влияния этих двух параметров на сопротивление труб отчетливо виден из графика, который является результатом опытов И.И. Никурадзе по испытанию на сопротивление ряда труб с искусственно созданной шероховатостью на их внутренней поверхности. Шероховатость была получена путем приклейки песчинок определенного размера, полученного просеиванием песка через специальные сита. Тем самым была получена равномерно распределенная зернистая шероховатость. Испытания были проведены при широком диапазоне относительных шероховатостей , а также чисел Re . Результаты этих испытаний представлены на рис. 12.2, где построены кривые зависимости от для ряда значений .

Рис. 12.2. Зависимость от для труб

с искусственной шероховатостью

Наклонные прямые А и В соответствуют законам сопротивления гладких труб. После умножения на 1000 и логарифмирования получим уравнения прямых

; (12.6)

. (12.7)

Штриховыми линиями показаны кривые для труб с различной относительной шероховатостью .