Материал: Гидравлика. курс лекций. Бородкин В.В

9.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема

Если бы не было уравнений движения, то указанные числа подобия так же, как и числа подобия любых физических явлений можно получить из теории размерности.

Размерность данной физической величины определяется соотношением между ней и теми физическими величинами, которые приняты за основные. В каждой системе единиц имеются свои основные единицы. В международной системе единиц основными являются: длина - метр, масса - килограмм, время - секунда, сила электрического тока - ампер, термодинамическая температура - градус Кельвина и сила света - свеча.

Размерность остальных физических величин, так называемых производных единиц, принимается на основании физических законов, устанавливающих связь между ними. Эта связь может быть представлена в виде формулы, называемой формулой размерности.

Теория размерностей основана на двух положениях:

1) отношение двух численных значений какой-нибудь производной величины не зависит от выбора масштабов для основных единиц измерения. Например, отношение двух площадей не зависит от того, в каких единицах будут измеряться площади;

2) всякое физическое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Это положение в теории размерности называют П-теоремой.

Не приводя доказательств, укажем, что из первого положения следует, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных одночленов, т.е.

, (9.10)

где и - размерность основных единиц.

Математическое выражение П-теоремы можно представить в таком виде: если размерная величина а является функцией независимых между собой размерных величин , т.е.

, (9.11)

где - число основных размерных величин, то безразмерных комбинаций Пi указанных размерных величин могут быть представлены в виде

;

;

................................

. (9.12)

Для примера установим зависимость коэффициента сопротивления крыла . Допустим, что зависит от следующих размерных величин: плотности , вязкости , скорости полета V и линейного размера крыла l. Тогда

. (9.13)

Пользуясь формулой размерности, можно найти безразмерную комбинацию указанных физических величин, представив их размерность степенным одночленом

. (9.14)

Для нахождения показателей a, d, с и п подставим в эту формулу значения размерностей физических величин в некоторой системе единиц. Выберем международную систему СИ. Тогда будем иметь

. (9.15)

Подставив эти величины в степенной одночлен, получим

, (9.16)

откуда относительно основных единиц измерения будем иметь три следующих уравнения

для кг: a + d = 0;

для м: - 3a - d + c + n = 0;

для сек:- в - с = 0. (9.17)

Решим эту систему, считая один из показателей степени, например п, известным. Получим а = с = п; d = - п. Таким образом, найдем безразмерную величину, от которой зависит

. (9.18)

Следовательно, зависит от числа Re. Показатель степени числа Re можно найти из эксперимента или каких- либо дополнительных соображений о механизме сопротивления крыла.

Аналогичным образом с помощью теории размерности можно получить и другие числа подобия для гидродинамических процессов.

9.3. Роль чисел подобия

Число Re, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкости, может быть представлено в виде

. (9.19)

Подобие поверхностных сил давления определяется равенством чисел М и k или при малых скоростях потоков - числом Эйлера. Если скорость звука

, (9.20)

где m - молекулярный вес,

то число М будет иметь вид

. (9.21)

Из формулы видно, что при одной и той же скорости движения и мало меняющихся k и g значение числа М пропорционально корню квадратному из величины молекулярного веса среды и обратно пропорционально корню квадратному из абсолютной температуры.

Число Эйлера Eu характеризует отношение нормальных поверхностных сил давления к силам инерции и равно отношению перепада давлений в двух точках потока к скоростному напору. В большинстве задач гидродинамики величина давления и скорости в любой точке потока однозначно определяется числом Re. При движении жидкости в трубах число Eu выражает безразмерную величину сопротивления и зависит лишь от числа Re

. (9.22)

Число Струхаля Sh характеризует составляющие инерционных сил, зависящих от времени. При этом может быть два случая:

1) когда нестационарность движения задается граничными условиями (машущее крыло, винт, колесо турбины и пр.);

2) когда нестационарность может являться следствием стационарного обтекания какого-либо тела, т.е. движение будет нестационарным по своей внутренней сущности.

Число , в отличие от других чисел подобия, явно не зависит от параметров потока. Оно полностью определяется физическими свойствами газов, и зависимость его величины от параметров газа довольно сложна. При некоторых упрощениях можно считать, что величина зависит от числа атомов в молекуле. Для одноатомных газов k = 1,66, двухатомных k = 1,4, трехатомных k = 1,27; для молекулы с бесконечным числом атомов k стремится к единице.

Действительные значения показателя изэнтропы для различных газов в зависимости от температуры можно найти в термодинамических таблицах. Влияние величины числа k на обтекание существенно лишь при числах М значительно больших единицы.

Для полного моделирования необходимо полное подобие процессов, т.е. равенство чисел подобия. Но обычно пользуются приближенным моделированием, при котором подобие сохраняется по числам, наиболее характерным для данного процесса. Так, например, при стационарных процессах числа Sh не имеют значения. При изучении движения жидкости в трубе самым существенным числом будет число Рейнольдса. При испытании моделей турбомашин (турбины, насосы, компрессоры) необходимо равенство чисел Sh и Еu.

10. Лекция №10

10.1. Одномерные потоки жидкостей и газов

Одномерным называют движение, при котором скорость, давление, плотность, температура и другие параметры зависят лишь от одной координаты, направление которой совпадает с направлением вектора скорости. Если параметры одномерного движения не зависят от времени, движение является стационарным, если зависят – нестационарным.

В действительности одномерного движения не существует, однако введение его понятия и выяснение его закономерностей позволяет упрощенно решать многие задачи практики. Таким представлением движения широко пользуются в гидравлике, поэтому гидравлику часто называют наукой об одномерном движении.

10.2. Уравнение д. Бернулли для струйки и потока реальной (вязкой) жидкости

При одномерном движении потоки конечных размеров обычно рассматривают как совокупности элементарных струек, скользящих одна по другой без перемешивания.

Ранее при рассмотрении интеграла уравнения движения жидкости для различных случаев было получено уравнение Д. Бернулли для линии тока и, соответственно, элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости в виде

. (10.1)

При переходе от элементарной струйки идеальной жидкости к потоку реальной (вязкой) жидкости, имеющему конечные размеры и ограниченному стенками, необходимо учесть неравномерность распределения скоростей по сечению, а также потери энергии (напора). То и другое является следствием вязкости жидкости.

При движении вязкой жидкости вдоль твердой стенки, например, в трубе, происходит торможение потока вследствие влияния вязкости, а также из-за действия сил молекулярного сцепления между жидкостью и стенкой. Поэтому наибольшего значения скорость достигает в центральной части потока, а по мере приближения к стенке она уменьшается практически до нуля. Получается распределение скоростей, подобное тому, которое показано на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Распределение скоростей в реальном потоке

жидкости

Неравномерное распределение скоростей означает скольжение (сдвиг) одних слоев или частей жидкости по другим, вследствие чего возникают касательные напряжения (напряжения трения). Кроме того, движение вязкой жидкости часто сопровождается вращением частиц, вихреобразованием и перемешиванием. Все это требует затрат энергии, поэтому удельная энергия движущейся вязкой жидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а постепенно расходуется на преодоление сопротивлений и, следовательно, уменьшается вдоль потока. Из-за неравномерного распределения скоростей приходится вводить в рассмотрение среднюю по сечению скорость , а также среднее значение удельной энергии жидкости в данном сечении.

Прежде чем приступить к рассмотрению уравнения Д. Бернулли для потока вязкой жидкости, сделаем следующее допущение: будем считать, что в пределах рассматриваемых поперечных сечений потока справедлив основной закон гидростатики: .

Здесь предполагается, что при движении жидкости отдельные струйки оказывают одна на другую в поперечном направлении такое же давление, как слои жидкости в неподвижном состоянии. Это соответствует действительности, когда течение в данных поперечных сечениях является параллельноструйным.

Введем понятие мощности потока. Мощностью потока в данном сечении будем называть полную энергию, которую проносит поток через это сечение в единицу времени.

Выразим элементарную мощность (мощность элементарной струйки) в виде произведения полной удельной энергии жидкости в данной точке на элементарный массовый расход:

. (10.2)

Мощность всего потока найдем как интеграл от предыдущего выражения по всей площади S:

, (10.3)