Материал: Гидравлика. курс лекций. Бородкин В.В

15. Лекция №15

15.1. Истечение через отверстия и насадки при переменном напоре

Рассмотрим опорожнение открытого в атмосферу сосуда произвольной формы через донное отверстие или насадок с коэффициентом μ (рис. 15.1). В этом случае истечение будет происходить при переменном, постепенно уменьшающемся напоре, т.е., строго говоря, течение является, неустановившимся.

Рис. 15.1. Схема опорожнения резервуара

Если напор, а, следовательно, и скорость истечения изменяются медленно, то движение в каждый данный момент времени можно рассматривать как установившееся, и для решения задачи применить уравнение Д. Бернулли (квазистационарное течение). Обозначив переменную высоту уровня жидкости в сосуде, отсчитываемую от дна, через h, площадь сечения резервуара на этом уровне S, а площадь отверстия S₀ и взяв бесконечно малый отрезок времени dt, можно записать следующее уравнение объемов:

или , (15.1)

где dh - изменение уровня жидкости в сосуде за время dt.

Знак минус обусловлен тем, что положительному приращению dt соответствует отрицательное приращение dh.

Отсюда время полного опорожнения сосуда высотой Н найдем следующим путем (считая μ = const):

. (15.2)

Интеграл можно подсчитать, если известен закон изменения площади S по высоте h. Для цилиндрического сосуда S = const, следовательно

. (15.3)

Числитель этой формулы равен удвоенному объему сосуда, а знаменатель представляет собой расход в начальный момент опорожнения, т.е. при напоре Н. Следовательно, время полного опорожнения сосуда в 2 раза больше времени истечения того же объема жидкости при постоянном напоре, равном первоначальному.

15.2. Неустановившееся движение жидкости в трубах

Неустановившимся, или нестационарным, движением жидкости называется движение, переменное по времени. При этом движении как вектор скорости, так и давление в жидкости являются функциями не только координат точки, но и времени. Таким образом и .

В потоке идеальной несжимаемой жидкости выделим элемент струйки длиной dl и площадью сечения dS (рис. 15.2). Применим к массе этого элемента второй закон Ньютона, причем уравнение запишем в проекции на направление касательной к осевой линии струйки. Будем иметь

или

. (15.4)

Рис. 15.2. Схема для вывода уравнения

неустановившегося течения

Частная производная от давления p использована потому, что давление, так же как и скорость , является функцией двух переменных - l и t, а уравнение движения записано для определенного момента времени. В правой же части уравнения записана полная производная от v по t, т.е. полное ускорение, которое равно сумме локального (местного) ускорения, обусловленного нестационарностью движения, и конвективного ускорения, определяемого геометрией потока, т.е.

. (15.5)

Учитывая, что , где z - вертикальная координата, перепишем уравнение движения в виде:

. (15.6)

Интегрируя вдоль струйки от сечения 1-1 до сечения 2-2 в тот же фиксированный момент времени, получаем:

или

. (15.7)

После деления на g и перегруппировки членов уравнения будем иметь:

. (15.18)

Полученное уравнение отличается от уравнения Д. Бернулли для струйки идеальной жидкости лишь четвертым членом в правой части, который называется инерционным напором:

. (15.19)

Из уравнения (15.19) ясен физический смысл инерционного напора : это есть разность полных напоров (полных энергий жидкости, отнесенных к единице веса жидкости) в сечениях 1-1 и 2-2 в данный фиксированный момент времени, обусловленная ускорением (или торможением) потока жидкости.

Для неустановившегося потока вязкой жидкости необходимо учесть еще неравномерность распределения скоростей и потери напора, следовательно, уравнение (15.18) будет иметь вид

. (15.20)

Для трубы постоянного диаметра локальное ускорение также постоянно вдоль трубы, следовательно, инерционный напор

. (15.21)

Все сказанное относится лишь к определенному моменту времени или к равноускоренному движению жидкости (а = const). При переменной величине а характер распределения напоров вдоль потока изменяется с течением времени.

Гидравлические потери при неустановившемся движении отличны от потерь при установившемся движении. Это связано с видоизменением профиля скоростей по сечению трубы. Так, при ускоренном движении жидкости профиль делается более полным (коэффициент уменьшается), а при замедленном - более вытянутым ( увеличивается).

15.3. Гидравлический удар

Гидравлическим ударом обычно называют резкое повышение давления, возникающее в напорном трубопроводе при внезапном торможении потока жидкости. Гидроудар представляет собой колебательный процесс, возникающий в упругом трубопроводе с капельной жидкостью при внезапном изменении ее скорости. Этот процесс является очень быстротечным и характеризуется чередованием резких повышений и понижений давления. Изменение давления при этом тесно связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода. Гидроудар чаще всего возникает при быстром закрытии или открытии крана или иного устройства управления потоком. Однако могут быть и другие причины его возникновения.

Пусть в конце трубы, по которой жидкость движется со скоростью , произведено мгновенное закрытие крана (рис. 15.3, а).

Рис. 15.3. Стадии гидравлического удара

Тогда скорость частиц жидкости, натолкнувшихся на кран, будет погашена, а их кинетическая энергия перейдет в работу деформации стенок трубы и жидкости. При этом стенки трубы растягиваются, а жидкость сжимается в соответствии с повышением давления . На заторможенные частицы у крана набегают другие, соседние с ними частицы и тоже теряют скорость, в результате чего сечение n-n перемещается вправо со скоростью с, называемой скоростью ударной волны; сама же переходная область, в которой давление изменяется на величину , называется ударной волной. Когда ударная волна переместится до резервуара, жидкость окажется остановленной и сжатой во всей трубе, а стенки трубы - растянутыми. Ударное повышение давления распространится на всю трубу (рис. 15.3, б).

Но такое состояние не является равновесным. Под действием перепада давления частицы жидкости устремятся из трубы в резервуар, причем это движение начнется с сечения, непосредственно прилегающего к резервуару. Теперь сечение n-n перемещается в обратном направлении - к крану - с той же скоростью с, оставляя за собой выравненное давление (рис. 15.3, в). Жидкость и стенки трубы предполагаются упругими, поэтому они возвращаются к прежнему состоянию, соответствующему давлению . Работа деформации полностью переходит в кинетическую энергию, и жидкость в трубе приобретает первоначальную скорость , но направленную теперь в противоположную сторону. С этой скоростью «жидкая колонна» (рис. 15.3, г) стремится оторваться от крана, в результате возникает отрицательная ударная волна под давлением - , которая направляется от крана к резервуару со скоростью с, оставляя за собой сжавшиеся стенки трубы и расширившуюся жидкость, что обусловлено снижением давления (рис. 15.3, д). Кинетическая энергия жидкости вновь переходит в работу деформаций, но противоположного знака. Состояние трубы в момент прихода отрицательной ударной волны к резервуару показано на рис. 15.3, е. Так же как и для случая, изображенного на рис. 15.3, б, оно не является равновесным. На рис. 15.3, ж показан процесс выравнивания давления в трубе и резервуаре, сопровождающийся возникновением движения жидкости со скоростью . Очевидно, что как только отраженная от резервуара ударная волна под давлением достигнет крана, возникнет ситуация, уже имевшая место в момент закрытия крана. Весь цикл гидравлического удара повторится.

Протекание гидравлического удара во времени иллюстрируется диаграммой, представленной на рис. 15.4.

Рис. 15.4. Изменение давления в трубе

в процессе гидроудара

Диаграмма, показанная штриховыми линиями на рис. 15.4, а, характеризует теоретическое изменение давления в точке А (рис. 15.3) непосредственно у крана (закрытие крана предполагается мгновенным). Сплошными линиями дан примерный вид действительной картины изменения давления по времени. В действительности давление нарастает (а также падает), хотя и круто, но не мгновенно. Кроме того, имеет место затухание колебаний давления, т.е. уменьшение его амплитудных значений из-за трения и ухода энергии в резервуар.

Повышение давления легко связать со скоростями и с, если рассмотреть элементарное перемещение ударной волны dx за время dt и применить к элементу трубы dx теорему об изменении количества движения. При этом получим

. (15.22)

Отсюда скорость распространения ударной волны

,

откуда

. (15.23)

Выражение (15.23) называют формулой Н.Е. Жуковского.

Но пока неизвестна скорость с, поэтому ударное давление найдем другим путем, а именно из условия, что кинетическая энергия жидкости переходит в работу деформации: растяжения стенок трубы и сжатия жидкости. Кинетическая энергия жидкости в трубе радиусом r равна

. (15.24)

Работа деформации равна потенциальной энергии деформированного тела и составляет половину произведения силы на удлинение. Выражая работу деформации стенок трубы как работу сил давления на пути (рис. 15.5, а), получаем:

Рис. 15.5. Схема деформации трубы и жидкости

. (15.25)

По закону Гука

, (15.26)