Материал: Гидравлика. курс лекций. Бородкин В.В

3.3. Расход элементарной струйки и расход через поверхность

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока (струйки) в единицу времени. Под живым сечением, или просто сечением потока, понимают в общем случае поверхность в пределах потока, проведенную нормально к линиям тока.

Это количество можно измерить в единицах объема, в весовых единицах или в единицах массы, в связи с чем различают объемный Q, весовой и массовый расходы. Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площади сечений, можно считать истинную скорость V одинаковой во всех точках каждого сечения. Следовательно, для этой струйки объемный ( ), весовой ( ) и массовый ( ) расходы будут равны

(3.14)

где dS - площадь сечения струйки.

Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о сплошности (неразрывности) течения и на указанном выше свойстве трубки тока, заключающемся в ее «непроницаемости», для установившегося течения несжимаемой жидкости можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки один и тот же

(вдоль струйки). (3.15)

Это уравнение называется уравнением объемного расхода для элементарной струйки.

В векторном анализе потоком любого вектора а называется интеграл по некоторой поверхности от проекции вектора а на нормаль n в каждой точке поверхности, т.е.

. (3.16)

Соответственно с этим поток вектора скорости определяется величиной, равной

. (3.17)

Поток вектора скорости физически представляет собой объемный расход некоторой жидкости (среды) через поверхность .

Если поверхность замкнутая, то при отсутствии внутри поверхности источников и стоков поток вектора скорости через замкнутую поверхность будет равен нулю

. (3.18)

Для потока конечных размеров скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход надо определять как сумму элементарных расходов струек, т.е.

. (3.19)

Обычно в рассмотрение вводят среднюю по сечению скорость , откуда получаем

(вдоль потока). (3.20)

Для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, будем иметь

(вдоль потока). (3.21)

Уравнение расхода является следствием общего закона сохранения вещества для частных условий, в частности для условий сплошности (неразрывности) течения.

При наличии источника поток вектора скорости будет составлять

, (3.22)

а при наличии стока

. (3.23)

3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)

В механике обычно рассматриваются законы сохранения четырех величин: массы, количества движения, момента количества движения и энергии. Все законы сохранения относятся к так называемым изолированным системам. Будем в дальнейшем называть систему изолированной или замкнутой в том случае, если через контрольную поверхность - окружающую систему - нет переноса массы, количества движения и энергии. На изолированную систему не действуют внешние силы.

Закон сохранения массы для изолированной системы выражается в том, что масса m такой системы остается постоянной во все время движения, т.е. количество вещества остается постоянным или

. (3.24)

Общий закон сохранения массы применительно к сплошным средам получает свое выражение в уравнении неразрывности или сплошности движения. Для получения этого уравнения при отсутствии источников или стоков массы применим закон сохранения массы к некоторому элементарному объему , движущемуся вместе со средой, имеющей плотность . Так как

(3.25)

то , (3.26)

или . (3.27)

Относительное изменение объема в данной точке за единицу времени равно дивергенции вектора скорости в данной точке, т.е.

. (3.28)

Тогда уравнение неразрывности движения примет вид

. (3.29)

Если плотность зависит и от времени и от координат, т.е. , то

(3.30)

Подставив это выражение в (3.29), получим другой вид уравнения неразрывности (в проекциях на прямоугольные оси)

(3.31)

или

. (3.32)

Последние слагаемые составляют дивергенцию , поэтому уравнение (3.32) в дифференциальной форме имеет вид

. (3.33)

Для стационарного движения, при котором , уравнение неразрывности примет вид

. (3.34)

При наиболее простом случае движения, когда плотность жидкости постоянна и не зависит от координат и времени, т.е. , уравнение неразрывности будет иметь вид

. (3.35)

Уравнение неразрывности (сплошности) также может быть представлено в интегральной форме в виде

, (3.36)

где S - поверхность, ограничивающая объем .

4. Лекция №4

4.1. Массовые и поверхностные силы

Вследствие текучести (подвижности частиц) в жидкости действуют силы не сосредоточенные, а непрерывно распределенные по ее объему (массе) или поверхности.

В зависимости от области приложения силы делятся на внутренние и внешние. По своей природе или по характеру действия силы делятся на массовые (или объемные) и поверхностные.

Массовые, или объемные, силы пропорциональны массе выделенного объема или при постоянной плотности среды пропорциональны объему. Массовыми, или объемными, силами являются: силы веса, все электромагнитные, электрические объемные силы, в том числе силы Лоренца и силы электростатического притяжения, и различные силы инерции (Кориолисова сила, центробежная сила и др.).

Поверхностные силы действуют лишь на поверхность выделенного объема. Обычно поверхностные силы делятся на две категории

а) поверхностные силы, направленные по нормали к выделенной площадке;

б) поверхностные силы, направленные по касательной к этой площадке.

В покоящейся жидкости поверхностные силы направлены по нормали к элементу поверхности выделенного объема. В движущейся вязкой жидкости имеют место и нормальные, и касательные составляющие поверхностных сил. Последние из них определяют силы трения.

Распределение массовых сил в некотором объеме задается вектором плотности массовой силы, равным пределу отношения главного вектора массовых сил , приложенных к частицам некоторого объема с массой , к этой массе при стремлении последней к нулю, т.е.

. (4.1)

Для характеристики распределения массовых сил обычно пользуются осредненным значением вектора плотности массовых сил, равным отношению главного вектора массовых сил к величине массы, т.е.

. (4.2)

Очевидно, размерность плотности массовой силы будет размерностью ускорения. Действительно

.

4.2. Поверхностные силы и напряжения

В отличие от объемных сил, вектор которых для частицы среды определяется однозначно, величина поверхностной силы в точке, в общем случае, зависит от выбора направления элементарной площадки.

Обычно рассматриваются не сами поверхностные силы, а их напряжения, т.е.

, (4.3)

где - главный вектор поверхностных сил, приложенных к некоторой площадке .

Размерность напряжений будет

.

В практике часто пользуются единицей измерения давления, называемой технической атмосферой, которая по величине равна 1 am = 736 мм pт. cm = 10 м вод. cm = 10 000 мм вод. cm.

В технике пользовались размерностью кгс/м² (кгс - килограммсила в старой системе единиц). Очевидно, что

,

поэтому величину давления часто выражают в миллиметрах водяного столба.

В международной системе единиц СИ за единицу давления принимается давление силы в 1 ньютон на 1 кв. метр. Эта единица равна

.

В виду того, что эта единица очень мала, можно применять укрупненные единицы давления: 1 килоньютон на 1 кв. метр (кн/м²), 1 меганьютон на 1 кв. метр (мн/м²) и внесистемную единицу давления бар (бар), равный 10⁵ н/м², а также дольные единицы бара -миллибар (мбар) и микробар (мкбар). Очевидно, что

.

Рассмотрим условие равновесия элементарного жидкого объема, находящегося под действием поверхностных и массовых сил. Для этого в покоящейся жидкости выделим некоторый элементарный тетраэдр с длиной ребер dx, dy, dz (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Схема элементарного тетраэдра

Очевидно, три грани тетраэдра лежат в координатных плоскостях, а четвертая, наклонная грань, является как бы замыкающей. Пусть площади соответствующих граней будут и .

По ранее введенному определению поверхностные силы элементарного тетраэдра пропорциональны произведению двух длин сторон тетраэдра, а массовые силы пропорциональны объему. Следовательно, массовыми силами как величинами третьего порядка малости можно пренебречь по сравнению с поверхностными силами - величинами второго порядка малости.

Согласно основному свойству жидкостей, находящихся в равновесии, поверхностные силы, заменяющие действие отброшенной части жидкости при выделении тетраэдра, будут направлены по нормали к граням тетраэдра. Таким образом, эти силы являются силами давления. Если обозначить величины сил давления, приложенных к граням, и (рис. 4.1), то для сохранения условий равновесия, известных из статики твердого тела, необходимо, чтобы сумма всех внешних сил или сумма проекций всех внешних сил на координатные оси была равна нулю. Для рассматриваемого тетраэдра это условие можно записать в виде