Материал: Гидравлика. курс лекций. Бородкин В.В

;

; (4.4)

,

где n - орт нормали к наклонной грани.

Если первое уравнение системы разделим на величину площадки , а второе и третье соответственно на и , то получим условие равновесия в величинах напряжений сил давления.

Но из рис. 4.1 видно, что , и - проекции наклонной грани на плоскости yОz, xОz и хОy, т.е.

;

; (4.5)

.

Подставив эти величины в правые части предшествующих уравнений, окончательно получим

. (4.6)

Из последнего уравнения следует, что в покоящейся жидкости величина напряжения силы давления, называемая гидростатическим давлением в точке, не зависит от ориентации площадки, к которой приложено давление. Приведенные выводы выражают собой известный закон Паскаля, гласящий, что «...давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях».

При движении реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.

4.3. Напряжения поверхностных сил

Поверхностные силы, действующие в движущихся сплошных средах, существенно отличаются от поверхностных сил, действующих в покоящейся среде. Это отличие заключается не только в появлении касательных составляющих, которые в покоящейся жидкости отсутствуют, а также и в том, что нормальные составляющие сил изменяют свою величину. Найдем величины, определяющие поверхностные напряжения в некоторой точке сплошной среды. Для этого рассмотрим в движущейся жидкости элементарный тетраэдр с вершиной в точке О (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Расчетная схема элементарного тетраэдра

Площади боковых граней тетраэдра равны , причем индексы означают ось, перпендикулярно которой расположена грань. Наклонная грань имеет площадь, равную ; n - нормаль к этой грани. К каждой из рассматриваемых граней будут приложены поверхностные силы, в общем случае направленные под некоторым углом к грани. Обозначим вектор напряжения поверхностных сил, приложенных к грани, перпендикулярной оси х, через соответственно к граням, нормальным к осям у и z, через и . К наклонной грани приложено напряжение . Как видно из рис. 4.2

;

; (4.7)

.

Второй индекс у проекций напряжений означает ось, на которую проектируются векторы напряжений , и .

Зная , и , можно определить вектор поверхностных сил , приложенный к площадке с любым заданным направлением орта нормали n.

Действительно, написав уравнение движения центра инерции тетраэдра с массой dm, получим

, (4.8)

где - скорость центра инерции тетраэдра;

F - плотность массовых сил.

Члены в уравнении, содержащие элементарную массу, являются величинами третьего порядка малости, в то время как остальные - второго порядка малости. Поэтому величинами, содержащими dm, пренебрегаем. Получим

. (4.9)

Из рис. 4.2 видно, что

;

; (4.10)

,

поэтому

, (4.11)

где ;

; (4.12)

.

Можно получить проекции вектора напряжений поверхностных сил, приложенных к площадке с любым заданным направлением n, на координатные оси х, у и z:

;

; (4.13)

;

Напряжение в точке определяется совокупностью величин

. (4.14)

Таблица величин, определяющих напряженное состояние в точке, называется тензором напряжений. Составляющие будем называть компонентами тензора напряжений или просто компонентами напряжений.

4.4. Уравнения движения в напряжениях

Это уравнение можно получить путем применения теоремы об изменении количеств движения к некоторому элементарному объему сплошной среды. В соответствии с ранее сказанным все внешние силы складываются из массовых и поверхностных. Следовательно, главный вектор внешних сил можно представить как сумму двух указанных главных векторов сил: объемных и поверхностных . Тогда в соответствии с теоремой об изменении количеств движения получим

. (4.15)

Но , (4.16)

так как есть масса жидкости в объеме , которая остается постоянной во все время движения.

Используя последнее соотношение, получим выражение известного в механике принципа Даламбера

, (4.17)

согласно которому уравнение динамики можно свести к уравнению статики, если к внешним силам присоединить силы инерции.

Применим теорему об изменении количеств движения к массе, заключенной в объеме элементарного параллелепипеда со сторонами dx, dy и dz. Тогда вектор массовых сил можно представить в виде

, (4.18)

где - вектор массовых сил, отнесенный к единице массы.

Найдем теперь главный вектор поверхностных сил. На рис. 4.3 показаны напряжения поверхностных сил, приложенных к граням, нормальным к оси х. Легко показать аналогичную схему напряжений, приложенных к граням, нормальным к осям у и z.

Рис. 4.3. Схема напряжений поверхностных сил

Спроектируем составляющие поверхностных сил на ось х. Рассмотрение сил, приложенных к граням, нормальным к оси х приводит к выражению

, (4.19)

к граням, нормальным к оси у, -

, (4.20)

к граням, нормальным к оси z -

. (4.21)

Таким образом, проекция главного вектора поверхностных сил на ось х будет

. (4.22)

Соответственно проектирование на оси у и z дает

; (4.23)

. (4.24)

Тогда в соответствии с формулой получим уравнения, отнесенные к единице объема, в проекциях на прямоугольную систему координат

; (4.25)

; (4.26)

. (4.27)

Так как вектора напряжений поверхностных сил и , приложенных к площадкам, нормальным осям х, у и z, равны

; (4.28)

; (4.29)

, (4.30)

то уравнение в векторном виде будет

. (4.31)

Эти уравнения являются уравнениями движения сплошных сред в напряжениях; в дальнейшем их будем называть уравнениями в напряжениях.