Материал: Гидравлика. курс лекций. Бородкин В.В

5. Лекция №5

5.1. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы

Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы, например, силы инерции переносного движения и т.п. Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия, которое называют относительным покоем.

В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, у и z и давлением р (рис. 5.1). Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость.

Рис. 5.1. Схема для вывода дифференциальных уравнений

равновесия жидкости

Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz. Пусть точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила , составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.

Давление р есть функция координат x, y и z, но вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково, что вытекает из доказанного выше свойства гидростатического давления. При переходе от точки М, например, к точке N изменяется лишь координата x на бесконечно малую величину dx, в связи с чем функция р получает приращение, равное частному дифференциалу (др /дх) dx, поэтому давление в точке N равно р + (др /дх) dx, где др /дх - градиент давления вблизи точки М в направлении оси x. Рассматривая давления в других соответствующих точках граней, нормальных к оси х, например, в точках N' и М', видим, что они отличаются на одинаковую (с точностью до бесконечно малых высших порядков) величину

. (5.1)

Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении оси х, равна указанной величине, умноженной на площадь грани: . Аналогичным образом, но через градиенты давления др/ду и др/дz выразим разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей.

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде

(5.2)

Разделим эти уравнения на массу dxdydz параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя dx, dy и dz к нулю, т.е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М:

(5.3)

Эти уравнения являются основными уравнениями гидростатики и часто называются уравнениями равновесия Эйлера для жидкости и газа.

Так как (5.4)

и , (5.5)

то система уравнений может быть представлена в векторном виде

. (5.6)

При относительном покое вектор плотности массовых сил включает силы инерции.

Поскольку массовые силы в большинстве случаев обладают потенциалом, то

, (5.7)

где U - потенциал массовых сил или силовая функция.

Тогда уравнению можно придать вид

. (5.8)

Общим интегралом этого уравнения в случаях, когда , является соотношение

, (5.9)

где - функция давления (для несжимаемой жидкости ( ) ; для сжимаемой - вид функции P зависит от связи между р и ).

Если из числа массовых сил на жидкость действует только гравитационная (тяжелая жидкость), то

, (5.10)

где z - координата, отсчитываемая вертикально вверх.

Для тяжелой несжимаемой жидкости интеграл принимает вид

. (5.11)

Эта формула выражает гидростатический закон распределения давлений.

Для практического пользования удобнее вместо приведенной системы уравнений иметь одно эквивалентное им уравнение. Для этого умножим первое из уравнений на dx, второе - на dy, третье - на dz и, сложив все три уравнения, получим:

. (5.12)

5.2. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона

Рассмотрим механику переноса количества движения, вследствие которого возникают поверхностные силы трения в движущихся жидкостях и газах. В отличие от идеальных жидкостей, в которых имеют место только нормальные составляющие поверхностных сил, в реальных жидкостях наличие вязкости вызывает появление касательных составляющих и изменяет величину нормальных составляющих.

По первой теореме Гельмгольца скорость частицы складывается из поступательной, вращательной и деформационной составляющих, следовательно, внутреннее трение в жидкости может возникать только при наличии деформации жидкого объема. Тогда естественно, что компоненты напряжения поверхностных сил должны зависеть от составляющих скоростей деформации.

Еще Ньютон показал, что в случае движения реальной жидкости параллельно некоторой плоскости касательное напряжение между двумя слоями, отнесенное к единице длины, будет пропорционально производной от скорости по нормали к направлению движения

. (5.17)

Если задать прямолинейное движение в плоскости ху параллельно оси x, то величина будет являться компонентой напряжения и равна

, (5.18)

при направлении движения параллельно оси у получим

. (5.19)

Следовательно, при произвольном движении в плоскости ху напряжение сил трения, равное одной из касательных компонент , входящих в тензор напряжений, будет равно

. (5.20)

Соответственно для плоскостей xz и уz получим

; (5.21)

. (5.22)

Соотношения (5.20) - (5.22) являются обобщением формулы Ньютона (5.17) и, таким образом, выражают обобщенный закон Ньютона для касательных напряжений. Коэффициенты пропорциональности во всех случаях являются коэффициентами вязкости.

При не очень больших градиентах скоростей компоненты тензора напряжений являются линейными функциями от составляющих тензора скоростей деформации.

Для нахождения нормальных составляющих напряжений необходимо, кроме обобщенного закона Ньютона о линейности связи напряжений и скоростей деформации, сделать еще допущение о том, что компоненты нормальных напряжений при отсутствии вязкости должны приводиться к нормальным напряжениям, не зависящим от выбора направления площадки. Обозначим эти не зависящие от направления площадки напряжения временно буквой А. Тогда компоненты нормальных напряжений

Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т.е. функции р(х, у, z), поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде:

. (5.13)

Следовательно, при наличии равновесия полным дифференциалом должна быть и правая часть уравнения. В частности, при постоянной плотности ( ) получим

. (5.14)

Из последнего условия видно, что массовые силы имеют потенциал U и проекции массовых сил можно выразить через потенциал в виде

(5.15)

Тогда уравнение запишется в виде

. (5.16)

Следовательно, жидкость может находиться в равновесии только в том случае, если массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал.

Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называют поверхностью уровня. При ее уравнением будет функция .

. (5.23)

При этом и отличны от нуля только в вязкой жидкости. Если линейную связь между величинами , и соответствующими компонентами тензора скоростей деформаций представить в виде

, (5.24)

то выражения для запишутся

(5.25)

Величина А, не зависящая от выбора направления площадки, т.е. одинаковая для всех нормальных компонент напряжения, может быть найдена из соотношений (5.25)

. (5.26)

Если (как и в идеальной жидкости) принять для вязкой жидкости или газа допущение, что давление в точке есть взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормальных напряжений, приложенных к взаимно перпендикулярным площадкам в этой точке, то

, (5.27)

и величина А будет равна

. (5.28)

Подставив найденное значение для А в соотношения (5.25), окончательно получим выражение обобщенного закона Ньютона для нормальных составляющих напряжений

(5.29)

Таким образом, соотношения (5.20) - (5.22) и (5.29) выражают обобщенный закон Ньютона для связи напряжений и скоростей деформаций.

Жидкости, у которых связи компонентов тензора напряжения и компонентов тензора скоростей деформации выражаются соотношениями (5.20) - (5.22) и (5.29), называются ньютоновскими или просто вязкими жидкостями. Опытом установлено, что эти соотношения сохраняются для всех газов и большинства реальных жидкостей, таких как вода, спирты, керосин, жидкие металлы, многие масла.