Материал: Глава I

Пример 23. Найти .

Решение. . Обозначим , тогда . В результате получим

.

. Интегралы вида вычисляются выделением полного квадрата в знаменателе. (Исключение составляет ситуация, когда , тогда можно воспользоваться методом внесения под знак дифференциала).

Рассмотрим соответствующие примеры

Пример 24. Найти .

Решение.

.

Пример 25. Найти .

Решение. . Обозначим тогда .

.

Пример 26. Найти .

Решение. , поэтому

.

. Интегралы вида вычисляются с помощью обратной подстановки , которая приводит их к интегралам вида .

Пример 27. Найти .

Решение. Полагаем

,

отсюда

.

Имеем:

.

. Интегралы вида путем выделения из квадратного трехчлена полного квадрата сводятся к одному из следующих основных интегралов:

1) ,

1.5. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется дробь вида , где

, многочлены степеней и соответственно. Дробь называется правильной, если , в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то выделяется целая часть дроби, т.е. , где многочлен степени , – многочлен, степень которого . Поэтому интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби

. (1)

Для интегрирования правильной дроби ее раскладывают в сумму простейших дробей. Простейшими дробями называются дроби вида:

1) ,

2) ,

3) , где (т.е. у этого квадратного трехчлена нет действительных корней),

4) .

2) ,

3) .

Пример 28.

.

В сумму каких простейших дробей разложится правильная дробь зависит от корней ее знаменателя.

Если , где различные действительные корни многочлена и натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби (1) на простейшие дроби вида 1) и 2)

(2)

Для вычисления неопределенных коэффициентов обе части тождества (2) приводят к общему знаменателю и числитель полученной дроби с неизвестными коэффициентами приравнивают . Эти неопределенные коэффициенты можно находить двумя способами:

1. Приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях .

2. Придают конкретные значения, а именно, полагают равным значениям корней знаменателя: или другим «удобным» числам.

Пример 29. Найти .

Решение. Имеем:

Отсюда

. (3)

1. Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество (3) в виде

.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим:

.

Отсюда

.