Материал: Глава I
2.
Второй способ определения коэффициентов.
Полагая
в тождестве (3), будем иметь:
т.е.
Полагая,
получим:
,
т.е.
.
Для нахождения
третьего неизвестного коэффициента в
качестве «удобного» числа возьмем
.
,
т.е.
.
Следовательно,
Пример 30.
Найти
.
Решение. Имеем:
и
(4)
При решении этого
примера рекомендуется комбинировать
два способа определения коэффициентов.
Применяя второй способ, полагаем
в тождестве (4); получим
.
Затем, полагая
,
получим
.
Далее, применяя первый способ, приравниваем
в тождестве (4) коэффициенты при
.
Будем иметь:
т.е.
.
Таким образом,
Следовательно,
Если многочлен
имеет комплексные корни
кратности
,
то в разложение (2) дополнительно войдут
простейшие дроби вида:
, (5)
где
и
неопределенные
коэффициенты, определяемые способами,
указанными выше.
Дробь вида
интегрируется методом, указанным в 1.4.
Если показатель
степени знаменателя
,
то так же выделяется полный квадрат из
квадратного трехчлена:
,
делается замена
и интеграл приводится к виду:
.
Этот интеграл представляется в виде суммы
.
Первый из этих интегралов берется подведением под знак дифференциала
,
где
.
Второй интеграл берется методом понижения степени, который рассмотрим на примере.
Пример 31. Найти
.
Решение. Добавим и вычтем в числителе , получим
.
У первого интеграла показатель степени в знаменателе равен 1 (понизили степень), он табличный.
Второй интеграл представим в виде:
и возьмем его по
частям:
,
,
,
отсюда
.
Если показатель степени больше двух, то процедуру интегрирования по частям приходится повторять несколько раз.
Пример 32. Найти
.
Решение. Так как
,
то, полагая
,
получим:
.
Последний интеграл
возьмём по частям. Пусть
,
,
,
тогда
.
В результате
.
Окончательно
.
Заменяя
на
,
получим
.
Пример 33. Найти
.
Решение.
.
Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители:
.
Неопределенные коэффициенты будем находить, комбинируя оба метода
,
тогда
;
,
тогда
;
,
тогда
.
Неизвестных
коэффициентов всего 4, один найден:
,
для нахождения остальных трех не достает
одного уравнения – приравняем коэффициенты
при старшей степени. При
справа стоит
,
слева – 0, получим 3 уравнения для нахождения трех неизвестных:
Решая систему,
находим:
;
;
Здесь первые 2 интеграла – табличные, третий интеграл сводится к табличным после выделения полного квадрата
.
Окончательно получаем:
.
Метод
Остроградского.
Если знаменатель правильной рациональной
дроби
имеет кратные корни, особенно комплексные,
то интегрирование такой дроби обычно
связано с громоздкими выкладками. В
этом случае, целесообразно пользоваться
следующей
формулой
Остроградского:
.
В этой формуле
– многочлен, имеющий те же корни, что и
многочлен
,
но все корни многочлена
– простые. Многочлен
=
,
а
и
– это некоторые многочлены, степени
которых на единицу меньше степеней
многочленов
и
соответственно. Если корни
известны, то тем самым известны многочлены
и
.
Для отыскания многочленов
и
их записывают с неопределенными
коэффициентами, которые находят после
дифференцирования обеих частей формулы
Остроградского.
Пример 34. Найти методом Остроградского
.
Решение.
В этом случае
поэтому
;
.
Следовательно, существуют многочлены
второй степени:
и
,
для которых верно равенство